《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

20. ( 10 分) 在平面直角坐标系中,已知抛物线 $y = ax^{2}-2ax + a + 2(a＞0)$.
( 1) 求该抛物线的顶点坐标;
( 2) 已知点 $A(-1,3),B(4,3)$,若抛物线与线段 $AB$ 恰有一个公共点,求 a 的取值范围.

答案： 解：
(1)该抛物线的顶点坐标为$(1,2)$；（3分）
(2)当抛物线经过点$A(-1,3)$时，将其代入表达式，得 $a + 2a + a + 2 = 3$，解得$a=\frac{1}{4}$， 由
(1)可知抛物线的对称轴为直线$x = 1$，且$a＞0$， $\therefore 0 ＜ a ＜\frac{1}{4}$； 当抛物线经过点$B(4,3)$时，将其代入表达式， 得$16a - 8a + a + 2 = 3$，解得$a=\frac{1}{9}$， $\therefore a\geq\frac{1}{9}$。 综上所述，当$\frac{1}{9}\leq a ＜\frac{1}{4}$时，该抛物线与线段$AB$恰有一个公共点。（10分）

21. ( 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y = -x^{2}+2x + 3$ 与 x 轴交于 $A,B$ 两点,与 y 轴交于点 $C$,顶点为 $D$,连接 $AC,BC$.
( 1) 求直线 $BC$ 对应的函数表达式;
( 2) 连接 $CD,BD$,求 $\triangle BCD$ 的面积;
( 3) 若 Q 是抛物线对称轴上一动点,是否存在点 Q,使得 $\triangle ACQ$ 为等腰三角形? 若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
解：
(1)直线$BC$对应的函数表达式为$y = -x + 3$；（3分）
(2)$\because y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$， $\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = 1$，点$D$的坐标为$(1,4)$。 如解图，设直线$x = 1$与直线$BC$交于点$E$， 将$x = 1$代入$y = -x + 3$中， 得$y=-1 + 3 = 2$， $\therefore$点$E$的坐标为$(1,2)$。 $\therefore DE = 4 - 2 = 2$， $\therefore S_{\triangle BCD}=S_{\triangle CDE}+S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}DE\cdot OB=\frac{1}{2}\times2\times3 = 3$；（7分）
(3)存在点$Q$，使$\triangle ACQ$为等腰三角形。 点$Q$的坐标为$(1,\sqrt{6})$或$(1,-\sqrt{6})$或$(1,0)$或$(1,1)$。（12分）