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2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
21. （12分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$为$AB$的中点，$P$是边$AC$上一动点，连接$BP$，$CD$相交于点$E$，连接$PD$.
（1）若$P$为$AC$的中点，判断$BE$与$PE$的数量关系，并说明理由；
（2）若$PD// BC$，$\tan\angle ADP = 2$，$BC = 2$，求$DE$的长；
（3）若$PD\perp AB$，$DE = 2CE$，求$\sin A$的值.
（1）若$P$为$AC$的中点，判断$BE$与$PE$的数量关系，并说明理由；
（2）若$PD// BC$，$\tan\angle ADP = 2$，$BC = 2$，求$DE$的长；
（3）若$PD\perp AB$，$DE = 2CE$，求$\sin A$的值.
答案：
解：
(1) $BE = 2PE$，理由如下： $\because P$ 为 $AC$ 的中点，$D$ 为 $AB$ 的中点， $\therefore DP$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线， $\therefore DP=\frac{1}{2}BC$，$DP// BC$， $\therefore \triangle PDE\sim\triangle BCE$，$\frac{PE}{BE}=\frac{PD}{BC}=\frac{1}{2}$， $\therefore BE = 2PE$； （4分）
(2) $\because PD// BC$，$\therefore \angle ABC=\angle ADP$. $\because \tan\angle ADP = 2$， $\therefore \tan\angle ABC=\tan\angle ADP = 2$. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\because BC = 2$， $\therefore AC = BC\cdot\tan\angle ABC = 4$， $\therefore AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=2\sqrt{5}$. $\because D$ 是 $AB$ 的中点，$PD// BC$， $\therefore PD$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$CD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$， $\triangle PDE\sim\triangle BCE$， $\therefore PD=\frac{1}{2}BC$，$\frac{DE}{CE}=\frac{PD}{BC}=\frac{1}{2}$， $\therefore DE=\frac{1}{3}CD=\frac{\sqrt{5}}{3}$； （8分）
(3) 如解图，过点 $B$ 作 $BF// AC$，交 $CD$ 的延长线于点 $F$， $\therefore \triangle ACD\sim\triangle BFD$， $\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{FD}{CD}=\frac{BF}{AC}$. $\because BD = DA$， $\therefore FD = CD$，$BF = AC$. $\because DE = 2CE$， $\therefore FD = CD = 3CE$，$\therefore EF = 5CE$. $\because BF// AC$，$\therefore \triangle BEF\sim\triangle PEC$， $\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{PC}{BF}=\frac{EC}{EF}=\frac{1}{5}$. （10分） 设 $PC = k$，则 $AC = 5k$，$PA = 4k$， $\because PD\perp AB$，$D$ 是 $AB$ 的中点， $\therefore PB = PA = 4k$， $\therefore BC=\sqrt{(4k)^{2}-k^{2}}=\sqrt{15}k$. $\because AC = 5k$， $\therefore AB=\sqrt{(\sqrt{15}k)^{2}+(5k)^{2}}=2\sqrt{10}k$， （11分） $\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{15}k}{2\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{6}}{4}$. （12分）
解：
(1) $BE = 2PE$，理由如下： $\because P$ 为 $AC$ 的中点，$D$ 为 $AB$ 的中点， $\therefore DP$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线， $\therefore DP=\frac{1}{2}BC$，$DP// BC$， $\therefore \triangle PDE\sim\triangle BCE$，$\frac{PE}{BE}=\frac{PD}{BC}=\frac{1}{2}$， $\therefore BE = 2PE$； （4分）
(2) $\because PD// BC$，$\therefore \angle ABC=\angle ADP$. $\because \tan\angle ADP = 2$， $\therefore \tan\angle ABC=\tan\angle ADP = 2$. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\because BC = 2$， $\therefore AC = BC\cdot\tan\angle ABC = 4$， $\therefore AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=2\sqrt{5}$. $\because D$ 是 $AB$ 的中点，$PD// BC$， $\therefore PD$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，$CD=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$， $\triangle PDE\sim\triangle BCE$， $\therefore PD=\frac{1}{2}BC$，$\frac{DE}{CE}=\frac{PD}{BC}=\frac{1}{2}$， $\therefore DE=\frac{1}{3}CD=\frac{\sqrt{5}}{3}$； （8分）
(3) 如解图，过点 $B$ 作 $BF// AC$，交 $CD$ 的延长线于点 $F$， $\therefore \triangle ACD\sim\triangle BFD$， $\therefore \frac{BD}{AD}=\frac{FD}{CD}=\frac{BF}{AC}$. $\because BD = DA$， $\therefore FD = CD$，$BF = AC$. $\because DE = 2CE$， $\therefore FD = CD = 3CE$，$\therefore EF = 5CE$. $\because BF// AC$，$\therefore \triangle BEF\sim\triangle PEC$， $\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{PC}{BF}=\frac{EC}{EF}=\frac{1}{5}$. （10分） 设 $PC = k$，则 $AC = 5k$，$PA = 4k$， $\because PD\perp AB$，$D$ 是 $AB$ 的中点， $\therefore PB = PA = 4k$， $\therefore BC=\sqrt{(4k)^{2}-k^{2}}=\sqrt{15}k$. $\because AC = 5k$， $\therefore AB=\sqrt{(\sqrt{15}k)^{2}+(5k)^{2}}=2\sqrt{10}k$， （11分） $\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{15}k}{2\sqrt{10}k}=\frac{\sqrt{6}}{4}$. （12分）
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