《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

19. （中考新考法·数学与生活融合项目化学习）（10分）为了测量教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表：
|课题|测量教学大楼（$AB$）的高度|
| ---- | ---- |
|分组|第一组|第二组|第三组|
|图示||||
|说明|人$CD$站在大楼$AB$的影子的顶端，$DE$为人的影长|$EF$为标杆，人的眼睛$C$、标杆顶端$E$与大楼顶端$A$在同一条直线上|在点$E$处放置一个平面镜，人的眼睛$C$恰好在平面镜中看到大楼顶端$A$|
|测量数据|$CD = 1.5\ m$，$ED = 2\ m$，$BD = 15\ m$|$CD = 1.5\ m$，$EF = 2\ m$，$DF = 1\ m$，$BF = 15\ m$|$CD = 1.5\ m$，$ED = 3\ m$，$BE = 19\ m$|
图中所有点都在同一平面内
（1）老师发现，三组中有一组数据有误，是第________组；
（2）请你从正确的方案中选择一种，求出教学大楼的高度.

答案： 解:
(1) 一; …… (3分)
(2) 选择第三组, 根据光线的入射角等于反射角可得 ∠CED = ∠AEB, 又
∵ ∠CDE = ∠ABE = 90°,
∴ △CED∽△AEB, …… (6分)
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$, 即 $\frac{1.5}{AB}=\frac{3}{19}$, 解得 AB = 9.5,
∴ 教学大楼的高度为 9.5 m. …… (10分)

20. 跨学科情境 跨物理凸透镜成像 （10分）小颖在探究凸透镜成像的规律时，发光物体$AB$、凸透镜$MN$和光屏上所成像$A'B'$的位置如图①所示，图②为改变距离后的简化示意图，点$A$与凸透镜光心$O$及点$A'$在同一直线$l$上，且直线$l\perp MN$. 已知发光物体高度$AB = 8\ cm$，物距$OA = 32\ cm$，像距$OA' = 16\ cm$.
（1）求像$A'B'$的高度；
（2）已知光线$BC$平行于$l$，经过凸透镜折射后通过焦点$F$，求焦距$OF$的长度.

答案： 解:
(1) 像 A'B' 的高度为 4 cm; …… (5分)
(2) 根据勾股定理可得: $OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{32^{2}+8^{2}}=8\sqrt{17}$, $OB'=\sqrt{OA'^{2}+A'B'^{2}}=\sqrt{16^{2}+4^{2}}=4\sqrt{17}$,
∴ $BB' = 12\sqrt{17}$, …… (7分) 根据题意可知 BC//OF,
∴ △B'FO∽△B'CB,
∴ $\frac{OF}{BC}=\frac{OB'}{BB'}$, 即 $\frac{OF}{32}=\frac{4\sqrt{17}}{12\sqrt{17}}$, 解得 $OF=\frac{32}{3}$, 即焦距 OF 的长度为 $\frac{32}{3}$ cm. …… (10分)