《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

21. （12 分）如图，直线$y = \frac{3}{4}x + b$与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$的图象交于$A$，$B$两点，与$x$轴交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，$BE\perp x$轴于点$E$，连接$OB$，$\triangle OBE$的面积为 12，点$A$的横坐标为 4，点$P$是$x$轴上的一个动点，设其横坐标为$m$.
（1）求反比例函数的表达式及点$C$的坐标；
（2）当以$P$，$A$，$D$为顶点的三角形周长最小时，求$m$的值.

答案：
解：
(1) $\because \triangle OBE$的面积为 12， $\therefore \frac{1}{2}\cdot|k| = 12$， 解得$k=\pm24$。 又$\because$反比例函数的图象位于第一、三象限， 即$k\gt0$，$\therefore k = 24$， $\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{24}{x}$。……（2分） 当$x = 4$时，$y=\frac{24}{4}=6$， $\therefore$点$A$的坐标为$(4,6)$。 将$A(4,6)$代入$y=\frac{3}{4}x + b$中， 得$6=\frac{3}{4}\times4 + b$， 解得$b = 3$， $\therefore$直线$AB$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x + 3$。……（4分） 当$y = 0$时，即$\frac{3}{4}x + 3 = 0$， 解得$x=-4$， $\therefore$点$C$的坐标为$(-4,0)$；……（6分）
(2) 由
(1)知直线$AB$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x + 3$，当$x = 0$时，$y = 3$， $\therefore$点$D$的坐标为$(0,3)$。 $\because A(4,6)$，$D(0,3)$为定点， $\therefore$线段$AD$的长度为定值， $\therefore$当$\triangle PAD$的周长最小时，只需$PA + PD$最小， 如解图，作点$D(0,3)$关于$x$轴的对称点$D'$，则点$D'$的坐标为$(0,-3)$， 连接$AD'$交$x$轴于点$P$，此时$PA + PD$最小。 设直线$AD'$对应的函数表达式为$y = ax + n$，将$A(4,6)$，$D'(0,-3)$代入， 得$\begin{cases}4a + n = 6\\n=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{9}{4}\\n=-3\end{cases}$， $\therefore$直线$AD'$对应的函数表达式为$y=\frac{9}{4}x - 3$， 当$y = 0$时，即$\frac{9}{4}x - 3 = 0$，解得$x=\frac{4}{3}$， 即$m=\frac{4}{3}$。……（12分）