《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

16. （6分）如图，四边形$ABCD$是正方形，$AB = 8$，$E$是$AB$延长线上一点，连接$CE$，过点$E$作$EF\perp CE$交$DA$的延长线于点$F$. 若$AF = 6$，求$BE$的长.

答案： 解: BE = 4.

17. （8分）如图，四边形$ABCD$是平行四边形，点$E$为$AB$上一点，且$AE:BE = 3:1$，连接$DE$交$AC$于点$F$.
（1）求$\triangle AEF$与$\triangle CDF$的周长之比；
（2）如果$\triangle CDF$的面积为$32\ cm^{2}$，求四边形$BEFC$的面积.

答案： 解:
(1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB = CD, AB//CD,
∴ ∠FAE = ∠FCD, ∠FEA = ∠FDC,
∴ △AEF∽△CDF.
∵ AE : BE = 3 : 1,
∴ AE : AB = AE : CD = 3 : 4,
∴ △AEF 与 △CDF 的周长之比为 3 : 4;…… (4分)
(2)
∵ △AEF∽△CDF,
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CD}=\frac{3}{4}$.
∵ $S_{\triangle DCF}=32$,
∴ $S_{\triangle ADF}=24$, $S_{\triangle AEF}=18$,
∴ $S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}=32 + 24 = 56$,
∴ 四边形 BEFC 的面积为 $S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEF}=56 - 18 = 38$ ($cm^{2}$). …… (8分)

18. （8分）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC = 6$，点$D$是$AC$的中点，点$E$是$AB$上一动点，点$F$是$BC$上一动点，且点$E$不与端点重合，$\angle DEF = 45^{\circ}$. 设$AE = x$，$BF = y$.
（1）当$x$为何值时，$y$有最大值？最大值是多少？
（2）连接$DF$，若$DE\perp AB$，求$DF$的长.

答案： 解:
(1)
∵ AC = BC = 6, ∠C = 90°,
∴ $AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=6\sqrt{2}$.
∵ 点 D 是 AC 的中点,
∴ AD = DC = 3.
∵ ∠A = ∠B = ∠DEF = 45°, ∠A + ∠ADE = ∠DEF + ∠BEF,
∴ ∠ADE = ∠BEF,
∴ △ADE∽△BEF, …… (2分)
∴ $\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BF}$, 即 $\frac{3}{6\sqrt{2}-x}=\frac{x}{y}$,
∴ $y = -\frac{1}{3}x^{2}+2\sqrt{2}x = -\frac{1}{3}(x - 3\sqrt{2})^{2}+6$.
∵ $-\frac{1}{3}＜0$, $0＜x＜6\sqrt{2}$,
∴ 当 $x = 3\sqrt{2}$ 时, y 有最大值, 最大值为 6;…… (4分)
(2)
∵ DE⊥AB,
∴ ∠A = ∠ADE = 45°.
∵ AD = DC = 3.
∴ $x = AE = DE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, …… (6分)
∴ $y = -\frac{1}{3}x^{2}+2\sqrt{2}x=\frac{9}{2}$,
∴ $BF=\frac{9}{2}$,
∴ $CF = BC - BF=\frac{3}{2}$, 在 Rt△CDF 中, 由勾股定理得 $DF=\sqrt{CD^{2}+CF^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$. …… (8分)