《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

19. （10 分）已知二次函数$y = ax^{2}+bx - 3$的图象经过$(-1,-4)$和$(1,0)$两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$都在二次函数图象上，且$x_{1}+x_{2}=2$.
①当$1＜x_{1}＜3$时，比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小；
②求$y_{1}+y_{2}$的取值范围.

答案： 解：
(1) 二次函数的表达式为$y = x^{2}+2x - 3$；…（3分）
(2) ①根据
(1)可知，对称轴为直线$x =-\frac{b}{2a}=-1$， $\because x_1 + x_2 = 2$，$1\lt x_1\lt3$， $\therefore -1\lt x_2\lt1$。 $\because a = 1\gt0$， $\therefore$当$x\gt - 1$时，$y$随$x$的增大而增大， $\therefore y_1\gt y_2$；……（6分） ②$\because y_1 + y_2 = x_1^{2}+2x_1 - 3+[(2 - x_1)^{2}+2(2 - x_1)-3]=2x_1^{2}-4x_1 + 2 = 2(x_1 - 1)^{2}$， $\therefore$当$x_1 = 1$时，$y_1 + y_2$有最小值0， $\therefore y_1 + y_2\geq0$。……（10分）

20. （10 分）如图，$\triangle ABC$和$\triangle BDE$均为等腰直角三角形，$\angle ACB = \angle BED = 90^{\circ}$，$C$，$B$，$D$三点共线，连接$AD$交$BE$于点$F$，连接$CE$.
（1）求证：$\triangle ABD\sim\triangle CBE$；
（2）若$AB = 4$，$DE = 6$，求$EF$的长.

答案：
(1) 证明：$\because \triangle ABC$和$\triangle BDE$是等腰直角三角形， $\therefore AB=\sqrt{2}BC$，$BD=\sqrt{2}BE$，$\angle ABC=\angle EBD = 45^{\circ}$， $\therefore \frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BE}=\sqrt{2}$，$\angle ABD=\angle CBE = 135^{\circ}$， $\therefore \triangle ABD\sim\triangle CBE$；……（5分）
(2) 解：$\because \triangle ABC$和$\triangle BDE$是等腰直角三角形， $\therefore BE = DE = 6$，$\angle ABC=\angle EBD = 45^{\circ}$，$\angle BED = 90^{\circ}$， $\therefore \angle ABE = 180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}=\angle BED$。 又$\because \angle AFB=\angle DFE$， $\therefore \triangle ABF\sim\triangle DEF$， $\therefore \frac{EF}{BF}=\frac{DE}{AB}=\frac{6}{4}$，$\therefore \frac{EF}{BE}=\frac{6}{10}$， $\therefore EF=\frac{6}{10}BE=\frac{18}{5}$。……（10分）