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2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版
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18. （8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，点E为AC的中点，连接ED并延长与CB的延长线交于点F.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC=4，$\frac{BF}{FD}=\frac{3}{5}$，求FC的长.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC=4，$\frac{BF}{FD}=\frac{3}{5}$，求FC的长.
答案：
(1) 证明：如解图，连接 $OD,CD$， $\because BC$ 为 $\odot O$ 的直径， $\therefore\angle BDC = 90^{\circ},\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$. $\because$ 点 $E$ 为 $AC$ 的中点， $\therefore DE = CE,\therefore\angle DCE = \angle CDE$. $\because OC = OD,\therefore\angle OCD = \angle ODC$. $\because\angle ACB = 90^{\circ}$，即 $\angle OCD + \angle DCE = 90^{\circ}$， $\therefore\angle ODC + \angle CDE = 90^{\circ}$，即 $OD\perp DE$. $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径， $\therefore DE$ 为 $\odot O$ 的切线；（4分）
(2) 解：设 $BF = 3x$，则 $FD = 5x$， $\because BC$ 是 $\odot O$ 的直径，$BC = 4$， $\therefore OB = OD = 2$. 由
(1)知 $\angle ODF = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ODF$ 中，由勾股定理得 $OD^{2}+FD^{2}=OF^{2}$， 即 $2^{2}+(5x)^{2}=(2 + 3x)^{2}$， 解得 $x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=\frac{3}{4}$， $\therefore BF = 3x = 3\times\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$， $\therefore FC = BC + BF = 4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$. （8分）
(1) 证明：如解图，连接 $OD,CD$， $\because BC$ 为 $\odot O$ 的直径， $\therefore\angle BDC = 90^{\circ},\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$. $\because$ 点 $E$ 为 $AC$ 的中点， $\therefore DE = CE,\therefore\angle DCE = \angle CDE$. $\because OC = OD,\therefore\angle OCD = \angle ODC$. $\because\angle ACB = 90^{\circ}$，即 $\angle OCD + \angle DCE = 90^{\circ}$， $\therefore\angle ODC + \angle CDE = 90^{\circ}$，即 $OD\perp DE$. $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径， $\therefore DE$ 为 $\odot O$ 的切线；（4分）
(2) 解：设 $BF = 3x$，则 $FD = 5x$， $\because BC$ 是 $\odot O$ 的直径，$BC = 4$， $\therefore OB = OD = 2$. 由
(1)知 $\angle ODF = 90^{\circ}$，$\therefore$ 在 $Rt\triangle ODF$ 中，由勾股定理得 $OD^{2}+FD^{2}=OF^{2}$， 即 $2^{2}+(5x)^{2}=(2 + 3x)^{2}$， 解得 $x_{1}=0$（舍去），$x_{2}=\frac{3}{4}$， $\therefore BF = 3x = 3\times\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$， $\therefore FC = BC + BF = 4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$. （8分）
19. （10分）如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，AC平分∠BAD，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点P，连接BD.
（1）求证：BD//CP；
（2）若sin P=$\frac{3}{5}$，BP=2，求BD的长.
（1）求证：BD//CP；
（2）若sin P=$\frac{3}{5}$，BP=2，求BD的长.
答案：
(1) 证明：如解图，连接 $OC$， $\because CP$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore\angle OCP = 90^{\circ}$， $\therefore\angle COP+\angle P = 90^{\circ}$. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$， $\therefore\angle DAB+\angle DBA = 90^{\circ}$. $\because AC$ 平分 $\angle BAD$，$\therefore\angle BAD = 2\angle BAC$. $\because\angle BOC = 2\angle BAC$， $\therefore\angle BAD = \angle BOC$，$\therefore\angle DBA = \angle P$， $\therefore BD// CP$；（5分）
(2) 解：由
(1)得 $\angle OCP = 90^{\circ}$， 设 $\odot O$ 的半径为 $r$， $\because\sin P=\frac{3}{5},BP = 2$， $\therefore\frac{OC}{OP}=\frac{r}{r + 2}=\sin P=\frac{3}{5}$， 解得 $r = 3$， $\therefore AB = 6$. （8分） 由
(1)得 $\angle DBA = \angle P$， $\therefore\sin\angle DBA=\sin P=\frac{3}{5}$. $\because\angle ADB = 90^{\circ}$， $\therefore AD = AB\cdot\sin\angle DBA = 6\times\frac{3}{5}=\frac{18}{5}$， $\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\frac{24}{5}$. （10分）
(1) 证明：如解图，连接 $OC$， $\because CP$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore\angle OCP = 90^{\circ}$， $\therefore\angle COP+\angle P = 90^{\circ}$. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$\therefore\angle ADB = 90^{\circ}$， $\therefore\angle DAB+\angle DBA = 90^{\circ}$. $\because AC$ 平分 $\angle BAD$，$\therefore\angle BAD = 2\angle BAC$. $\because\angle BOC = 2\angle BAC$， $\therefore\angle BAD = \angle BOC$，$\therefore\angle DBA = \angle P$， $\therefore BD// CP$；（5分）
(2) 解：由
(1)得 $\angle OCP = 90^{\circ}$， 设 $\odot O$ 的半径为 $r$， $\because\sin P=\frac{3}{5},BP = 2$， $\therefore\frac{OC}{OP}=\frac{r}{r + 2}=\sin P=\frac{3}{5}$， 解得 $r = 3$， $\therefore AB = 6$. （8分） 由
(1)得 $\angle DBA = \angle P$， $\therefore\sin\angle DBA=\sin P=\frac{3}{5}$. $\because\angle ADB = 90^{\circ}$， $\therefore AD = AB\cdot\sin\angle DBA = 6\times\frac{3}{5}=\frac{18}{5}$， $\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\frac{24}{5}$. （10分）
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