《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

20. （中考新考法·解题方法型阅读理解题）（10分）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$，$\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$.
利用这些公式，我们可以将两角和（差）的三角函数值转化为两个角三角函数值的和（差），例如：$\sin105^{\circ}=\sin(45^{\circ}+60^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos60^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
理解应用：（1）根据以上材料，请计算$\cos15^{\circ}$的值；
（2）已知矩形的对角线长度为$8$，对角线与其中一边的夹角为$22.5^{\circ}$，请你利用上述公式求该矩形的面积.

答案：
解：
(1) $\cos 15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})=\cos 45^{\circ}\cdot\cos 30^{\circ}+\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$； （4分）
(2) 如解图，若 $\angle ACB = 22.5^{\circ}$， 则 $AB = 8\cdot\sin 22.5^{\circ}$，$BC = 8\cdot\cos 22.5^{\circ}$， $\therefore S_{矩形}=AB\cdot BC = 64\sin 22.5^{\circ}\cdot\cos 22.5^{\circ}$. （6分） $\because \sin 45^{\circ}=\sin(22.5^{\circ}+22.5^{\circ})=\sin 22.5^{\circ}\cos 22.5^{\circ}+\cos 22.5^{\circ}\sin 22.5^{\circ}=2\sin 22.5^{\circ}\cos 22.5^{\circ}$， $\therefore \sin 22.5^{\circ}\cos 22.5^{\circ}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$， （8分） $\therefore S_{矩形}=64\sin 22.5^{\circ}\cos 22.5^{\circ}=64\times\frac{\sqrt{2}}{4}=16\sqrt{2}$. （10分）