《2025年万唯中考大小卷九年级数学全一册沪科版》

21. （12分）如图①，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，点$D$为边$CB$上一个动点（点$D$不与点$B$重合），过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，连接$AD$.
（1）当点$E$为$AB$的中点时，求证：$\triangle ADE\backsim\triangle BAC$；
（2）如图②，点$F$在边$AB$上，且点$F$到点$E$与点$B$到点$E$的距离相等，连接$DF$.
①当$AF = 2$时，试判断$\angle CAD$与$\angle BAD$的关系；
②当$\triangle AFD$为等腰三角形时，求线段$BD$的长.

答案：
(1) 证明:
∵ DE⊥AB, 点 E 为 AB 的中点,
∴ DE 所在直线为线段 AB 的垂直平分线,
∴ ∠B = ∠DAE, ∠AED = 90°. 又
∵ ∠C = 90°,
∴ △ADE∽△BAC; …… (3分)
(2) 解: ①
∵ 在 Rt△ABC 中, ∠C = 90°, AC = 6, BC = 8,
∴ $AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.
∵ AF = 2,
∴ BF = 10 - 2 = 8.
∵ 点 F 到点 E 与点 B 到点 E 的距离相等,
∴ EB = EF = 4.
∵ ∠B = ∠B, ∠BED = ∠C = 90°,
∴ △BDE∽△BAC,
∴ $\frac{ED}{CA}=\frac{EB}{CB}$,
∴ $\frac{ED}{6}=\frac{4}{8}$,
∴ ED = 3,
∴ 在 Rt△BED 中, $BD=\sqrt{EB^{2}+ED^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$,
∴ CD = BC - BD = 3,
∴ ED = CD.
∵ ∠C = 90°, ED⊥AB,
∴ AD 平分 ∠CAB,
∴ ∠CAD = ∠BAD; …… (7分) ②
∵ 点 F 到点 E 与点 B 到点 E 的距离相等, DE⊥AB,
∴ ∠B = ∠EFD, BE = FE, BD = FD.
∵ ∠B 为锐角,
∴ ∠EFD 也为锐角,
∴ ∠AFD 为钝角.
∵ △AFD 为等腰三角形,
∴ AF = DF. 由 ① 可知 △BDE∽△BAC, …… (10分)
∴ $\frac{BE}{BD}=\frac{BC}{BA}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. 设 BD = 5x, 则 AF = DF = 5x, BE = FE = 4x.
∵ AF + FE + BE = AB,
∴ 5x + 4x + 4x = 10, 解得 $x=\frac{10}{13}$,
∴ $BD = 5x=\frac{50}{13}$. …… (12分)