《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

9 已知两组数据$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$的平均数分别为2和 - 2,则$x_1 + 3y_1,x_2 + 3y_2,\cdots,x_n + 3y_n$的平均数为 （ ）
A.-4
B.-2
C.0
D.2

答案： A 解析：由两组数据$x_1$，$x_2$，…，$x_n$和$y_1$，$y_2$，…，$y_n$的平均数分别为2和 - 2，可知$x_1 + x_2 + … + x_n$ = 2n，$y_1 + y_2 + … + y_n$ = - 2n，
∴ $x_1 + 3y_1$，$x_2 + 3y_2$，…，$x_n + 3y_n$的平均数为$\frac{1}{n}(x_1 + 3y_1 + x_2 + 3y_2 + … + x_n + 3y_n)$ = $\frac{1}{n}(x_1 + x_2 + … + x_n + 3y_1 + 3y_2 + … + 3y_n)$ = $\frac{1}{n}[2n + 3×( - 2n)]$ = - 4. 故选A.

10 [2024·江苏无锡月考]已知数据$x_1 + 1,x_2 + 2,x_3 + 3$的平均数是6,那么数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是________.

答案： 4 解析：
∵ 数据$x_1 + 1$，$x_2 + 2$，$x_3 + 3$的平均数是6，
∴ $x_1 + 1 + x_2 + 2 + x_3 + 3$ = 6×3 = 18，
∴ $x_1 + x_2 + x_3$ = 12，
∴ $x_1$，$x_2$，$x_3$的平均数是$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ = 4.

11 [2024·江苏苏州期末]小王在使用计算器求100个数据的平均数时,错将150输入为1500,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是________.

答案： 13.5 解析：$\frac{1500 - 150}{100}$ = 13.5.

12 新题型 新定义题 对于三个数a,b,c,用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数,用$\min\{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数.例如:$M\{-1,2,3\}=\frac{-1 + 2 + 3}{3}=\frac{4}{3},\min\{-1,2,3\}=-1$.如果$M\{3,2x + 1,x - 1\}=\min\{3,-x + 7,2x + 5\}$,那么x = ________.

答案： 2或 - 4 解析：M{3，2x + 1，x - 1} = $\frac{3 + 2x + 1 + x - 1}{3}$ = x + 1.当min{3， - x + 7，2x + 5} = 3时，$\begin{cases}-x + 7\geq3\\2x + 5\geq3\end{cases}$，解得 - 1≤x≤4.
∵ M{3，2x + 1，x - 1} = min{3， - x + 7，2x + 5}，
∴ x + 1 = 3，解得x = 2，符合条件. 当min{3， - x + 7，2x + 5} = - x + 7时，$\begin{cases}3\geq - x + 7\\2x + 5\geq - x + 7\end{cases}$，解得x≥4.
∵ M{3，2x + 1，x - 1} = min{3， - x + 7，2x + 5}，
∴ x + 1 = - x + 7，解得x = 3，不符合条件.当min{3， - x + 7，2x + 5} = 2x + 5时，$\begin{cases}3\geq2x + 5\\ - x + 7\geq2x + 5\end{cases}$，解得x≤ - 1.
∵ M{3，2x + 1，x - 1} = min{3， - x + 7，2x + 5}，
∴ x + 1 = 2x + 5，解得x = - 4，符合条件. 综上所述，x = 2或x = - 4.

13 如下表:某单位设有六个部门,共153人.

要求所有人参与“学党史、名师德、促提升”建党100周年党史百题周周答活动,一共10道题,每题10分,满分100分.在某一周的前三天,由于特殊原因,有一个部门还没有参与答题,其余五个部门全部完成了答题,完成情况如下表:

综上所述,未能及时参与答题的部门可能是________.

答案： 部门5 解析：各分数人数比为5 : 2 : 1 : 1 : 1，即100分占总参与人数的$\frac{5}{5 + 2 + 1 + 1 + 1}$ = $\frac{1}{2}$，90分占总参与人数的$\frac{2}{5 + 2 + 1 + 1 + 1}$ = $\frac{1}{5}$，80分，70分，60分各占总参与人数的$\frac{1}{5 + 2 + 1 + 1 + 1}$ = $\frac{1}{10}$.
∵ 各分数人数为整数，即$\frac{1}{10}$×总参与人数 = 整数，
∴ 总参与人数是10的倍数.
∵ 共153人，
∴ 未参与答题的部门的人数的个位数字一定为3，
∴ 未参与答题的部门可能是部门5.

14 某糕点房推出一类新品蛋糕,该新品蛋糕的成本价为4元/个,售价为8元/个.若当天卖不完,则以2元/个的价格处理掉.经过长期的调研,统计了该新品蛋糕近期一个月(30天)的需求量,如下表:

(1)该糕点房某一天制作了35个新品蛋糕,当天需求量为30个,求这一天该新品蛋糕的利润.
(2)如果这30天内每天均制作35个新品蛋糕,求该新品蛋糕日利润的平均数.

答案： 解：
(1)该糕点房某一天制作了35个新品蛋糕，当天需求量为30个，这一天该新品蛋糕的利润为30×(8 - 4)+(35 - 30)×(2 - 4)=120 - 10 = 110(元).
(2)这30天内每天均制作35个新品蛋糕，日需求量为20个时的利润为20×(8 - 4)+(35 - 20)×(2 - 4)=50(元)，日需求量为30个时的利润为110元，日需求量为40个时的利润为35×(8 - 4)=140(元)，日需求量为50个时的利润为35×(8 - 4)=140(元)，
∴ 该新品蛋糕日利润的平均数为$\frac{50×5 + 110×10 + 140×(10 + 5)}{30}$ = 115(元).

15 真情境 关注世界杯 2022年卡塔尔世界杯的举行,吸引了全世界的目光.某学校初三年级$m(5 ＜ m ＜ 15)$个班也组织了一次足球联赛,比赛规则如下:每个班都与其他班级比赛一场,每场比赛中获胜的班级获得2个积分,平局两个班各获得1个积分,输掉比赛的班级获得0个积分.已知其中有2个班一共获得17个积分,且剩余其他所有班级积分的平均数为整数,则参加此次比赛的班级一共有________个.

答案： 7 解析：由题意可知，一共进行了$\frac{m(m - 1)}{2}$场比赛，
∴ 共有m(m - 1)个积分.
∵ 其中有2个班一共获得17个积分，且剩余其他所有班级积分的平均数为整数，
∴ $\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$为整数.
∵ 5 ＜ m ＜ 15，
∴ 当m = 6时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{6×(6 - 1)-17}{6 - 2}$ = 3.25；当m = 7时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{7×(7 - 1)-17}{7 - 2}$ = 5；当m = 8时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{8×(8 - 1)-17}{8 - 2}$ = 6.5；当m = 9时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{9×(9 - 1)-17}{9 - 2}$ ≈ 7.86；当m = 10时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{10×(10 - 1)-17}{10 - 2}$ = 9.125；当m = 11时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{11×(11 - 1)-17}{11 - 2}$ ≈ 10.33；当m = 12时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{12×(12 - 1)-17}{12 - 2}$ = 11.5；当m = 13时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{13×(13 - 1)-17}{13 - 2}$ ≈ 12.64；当m = 14时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$ = $\frac{14×(14 - 1)-17}{14 - 2}$ = 13.75，
∴ 当m = 7时，$\frac{m(m - 1)-17}{m - 2}$为整数，
∴ 参加此次比赛的班级一共有7个.