《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

1 [2023·浙江专题练习]已知一组数据3,4,5,6,5,7,那么这组数据的方差是 （ ）
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{4}{3}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： 1. A 解析 这组数据的平均数为$\frac{1}{6}\times(3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 7)=5$，方差为$\frac{1}{6}\times[(3 - 5)^2 + (4 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (7 - 5)^2]=\frac{1}{6}\times(4 + 1 + 0 + 1 + 0 + 4)=\frac{5}{3}$. 故选 A.

2 [2023·浙江温州期中]甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试,他们的平均成绩相同,方差分别是$S_{甲}^{2}=0.62,S_{乙}^{2}=0.45,S_{丙}^{2}=0.53$,则成绩最稳定的是 （ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 三个人都一样

答案： 2. B 解析 $\because S_{甲}^{2}=0.62,S_{乙}^{2}=0.45,S_{丙}^{2}=0.53,\therefore S_{乙}^{2}＜S_{丙}^{2}＜S_{甲}^{2},\therefore$ 成绩最稳定的是乙. 故选 B.

3 [2024·浙江宁波模拟]若一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}$的方差为5,则数据$x_{1}-2,x_{2}-2,x_{3}-2,\cdots,x_{n}-2$的方差是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 5
D. 15

答案： 3. C

4 真情境 世界杂交水稻之父袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”,他研究的水稻,不仅高产,而且抗倒伏.在某次实验中,他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验,各选取了8块条件相同的试验田,同时播种并核定亩产,结果甲、乙两种水稻的平均亩产量相同,为了保证产量稳定,该团队决定推广乙品种,由此可知,甲品种的亩产量方差$S_{甲}^{2}$_______乙品种的亩产量方差$S_{乙}^{2}$.

答案： 4. ＞ 解析 $\because$ 甲、乙两种水稻的平均亩产量相同，为了保证产量稳定，该团队决定推广乙品种，$\therefore$ 乙的方差较小，$\therefore S_{甲}^{2}＞S_{乙}^{2}$.

5 [2023·浙江杭州期中]已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{10}$,小明用$S^{2}=\frac{1}{10}\times[(x_{1}-3)^{2}+(x_{2}-3)^{2}+\cdots+(x_{10}-3)^{2}]$计算这一组数据的方差,那么$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{10}=$_______.

答案： 5. 30 解析 由$S^{2}=\frac{1}{10}\times[(x_{1}-3)^2+(x_{2}-3)^2+\cdots+(x_{10}-3)^2]$，可知这 10 个数据的平均数为 3，所以$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{10}=3\times10 = 30$.

6 [2024·北京模拟预测]小天想要计算一组数据92,90,94,99,85的方差$S_{0}^{2}$,在计算平均数的过程中,将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,9,-5,记这组新数据的方差为$S_{1}^{2}$,则$S_{1}^{2}$_______(填“＞”“=”或“＜”)$S_{0}^{2}$.

答案： 6. =

7 按照疫情防控工作部署,学校核酸检测有序进行,已知检测员甲和检测员乙到某校进行核酸检测,分别记录两人检测前6名学生所用的时间,获得如下检测时间折线统计图,根据图中的信息,解答下列问题:
检测员甲和检测员乙6次检测时间折线统计图

(1)要评价每位检测员检测时间的平均水平,你选择什么统计量?求这个统计量.
(2)求检测员乙检测时间的方差.
(3)现求得检测员甲检测时间的方差$S_{甲}^{2}=3$(单位:平方秒),根据折线统计图及上面两个小题的计算,你认为哪位检测员的检测技术比较娴熟?请简述理由.

答案： 7. 解
(1)$\because$ 要评价每位检测员检测时间的平均水平，$\therefore$ 选择平均数.
根据题图可知，甲：7，6，6，9，10，10，
平均数为$\overline{x}_{甲}=\frac{1}{6}\times(7 + 6 + 6 + 9 + 10 + 10)=8$(秒).
乙：7，8，7，10，7，9，
$\overline{x}_{乙}=\frac{1}{6}\times(7 + 8 + 7 + 10 + 7 + 9)=8$(秒).
(2)$S_{乙}^{2}=\frac{1}{6}\times[3\times(7 - 8)^2+(8 - 8)^2+(9 - 8)^2+(10 - 8)^2]=\frac{4}{3}$(秒$^{2}$).
(3)检测员乙的检测技术比较娴熟. 理由如下：
$\because\overline{x}_{甲}=8,\overline{x}_{乙}=8,S_{甲}^{2}=3,S_{乙}^{2}=\frac{4}{3},\therefore S_{甲}^{2}＞S_{乙}^{2}$，
$\therefore$ 检测员乙的检测技术比较娴熟.

8 [2024·山东威海期末]已知一组数据为2,3,4,5,6,则这组数据的方差和标准差分别是 （ ）
A. 2 $\sqrt{2}$
B. 3 $\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$ 2
D. $\sqrt{3}$ 3

答案： 8. A 解析 由题意得$\overline{x}=\frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6}{5}=4$，则方差$S^{2}=\frac{1}{5}\times[(2 - 4)^2+(3 - 4)^2+(4 - 4)^2+(5 - 4)^2+(6 - 4)^2]=2$，则标准差为$\sqrt{2}$. 故选 A.

9 如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的标准差为 （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： 9. C 解析 $\because$ 一组数据 6，7，$x$，9，5 的平均数是$2x$，$\therefore 6 + 7 + x + 9 + 5 = 2x\times5$，解得$x = 3$，$\therefore$ 这组数据为 6，7，3，9，5，这组数据的平均数为$2x = 6$，$\therefore$ 这组数据的方差为$\frac{(6 - 6)^2+(7 - 6)^2+(3 - 6)^2+(9 - 6)^2+(5 - 6)^2}{5}=4$，$\therefore$ 这组数据的标准差为$\sqrt{4}=2$. 故选 C.

10 已知一组数据1,2,4,5,x,其平均数是3,则这个样本的标准差是_______.

答案： 10. $\sqrt{2}$ 解析 根据题意得$1 + 2 + 4 + 5 + x = 3\times5$，解得$x = 3$，$\therefore$ 这组数据为 1，2，3，4，5，这组数据的方差为$\frac{1}{5}\times[(1 - 3)^2+(2 - 3)^2+(3 - 3)^2+(4 - 3)^2+(5 - 3)^2]=2$，$\therefore$ 这组数据的标准差是$\sqrt{2}$.