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8 [2024·山东德州月考]若实数a，b满足a² + 4b² - a + 4b + 5/4 = 0，则a - b的值为________.
答案：
1 解析：$\because a^2 + 4b^2 - a + 4b + \frac{5}{4} = 0$，$\therefore (a^2 - a + \frac{1}{4}) + (4b^2 + 4b + 1) = 0$，即$(a - \frac{1}{2})^2 + (2b + 1)^2 = 0$，$\therefore a - \frac{1}{2} = 0$，$2b + 1 = 0$，
$\therefore a = \frac{1}{2}$，$b = -\frac{1}{2}$，$\therefore a - b = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
$\therefore a = \frac{1}{2}$，$b = -\frac{1}{2}$，$\therefore a - b = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
9 链教材P35例7改编 若方程4x² + (m + 2)x + 1 = 0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为________.
答案：
2或 - 6
10 新题型 阅读辨析题 [2022·浙江舟山期末]下面是小明同学灵活运用配方法解方程4x² - 12x - 1 = 0的过程，请认真阅读并完成相应的任务.
解：原方程可化为(2x)² - 6×2x - 1 = 0. …… 第一步
移项，得(2x)² - 6×2x = 1. ……………… 第二步
配方，得(2x)² - 6×2x + 3² = 1. …………… 第三步
∴(2x - 3)² = 1. ………………………… 第四步
两边开平方，得2x - 3 = ±1. …………… 第五步
∴2x - 3 = 1或2x - 3 = -1. ……………… 第六步
∴原方程的解为x₁ = 2，x₂ = 1. ………… 第七步
任务一：小明同学的解答过程是从第________步开始出错的，错误的原因是________.
任务二：请求出该方程的正确解.
任务三：
小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方.”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？
解：原方程可化为(2x)² - 6×2x - 1 = 0. …… 第一步
移项，得(2x)² - 6×2x = 1. ……………… 第二步
配方，得(2x)² - 6×2x + 3² = 1. …………… 第三步
∴(2x - 3)² = 1. ………………………… 第四步
两边开平方，得2x - 3 = ±1. …………… 第五步
∴2x - 3 = 1或2x - 3 = -1. ……………… 第六步
∴原方程的解为x₁ = 2，x₂ = 1. ………… 第七步
任务一：小明同学的解答过程是从第________步开始出错的，错误的原因是________.
任务二：请求出该方程的正确解.
任务三：
小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配方.”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？
答案：
解：任务一：三 方程的右边漏加了$3^2$.
任务二：移项，得$4x^2 - 12x = 1$.
配方，得$4x^2 - 12x + 9 = 1 + 9$，
$\therefore (2x - 3)^2 = 10$.
两边开平方，得$2x - 3 = \pm\sqrt{10}$，
$\therefore 2x - 3 = \sqrt{10}$或$2x - 3 = -\sqrt{10}$，
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$.
任务三：我不同意小刚同学的说法.
得到的启示：我们要灵活运用配方法解一元二次方程.
任务二：移项，得$4x^2 - 12x = 1$.
配方，得$4x^2 - 12x + 9 = 1 + 9$，
$\therefore (2x - 3)^2 = 10$.
两边开平方，得$2x - 3 = \pm\sqrt{10}$，
$\therefore 2x - 3 = \sqrt{10}$或$2x - 3 = -\sqrt{10}$，
$\therefore x_1 = \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$.
任务三：我不同意小刚同学的说法.
得到的启示：我们要灵活运用配方法解一元二次方程.
1 [2024·四川眉山期中]运用配方法求：
对于多项式$x^{2}+4x+5$,当$x=$_________时,它的最小值为_________.
对于多项式$-2x^{2}+4x+5$,当$x=$_________时,它的最大值为_________.
对于多项式$x^{2}+4x+5$,当$x=$_________时,它的最小值为_________.
对于多项式$-2x^{2}+4x+5$,当$x=$_________时,它的最大值为_________.
答案：
-2 1 1 7
【变式】新题型 新定义题 [2024·江苏扬州月考]关于$x$的一元二次方程$a_{1}(x - m)^{2}+k = 0$与$a_{2}(x - m)^{2}+k = 0$称为“同族二次方程”,如$2(x - 3)^{2}+4 = 0$与$3(x - 3)^{2}+4 = 0$是“同族二次方程”.现有关于$x$的一元二次方程$2(x - 1)^{2}+1 = 0$与$(a + 2)x^{2}+(b - 4)x + 8 = 0$是“同族二次方程”,那么代数式$ab$的值为_________.
答案：
-50 解析：
∵2(x - 1)² + 1 = 0与(a + 2)x² + (b - 4)x + 8 = 0是“同族二次方程”，
∴(a + 2)x² + (b - 4)x + 8 = (a + 2)·(x - 1)² + 1，即(a + 2)x² + (b - 4)x + 8 = (a + 2)x² - 2(a + 2)x + a + 3，
∴$\begin{cases}-2(a + 2) = b - 4\\a + 3 = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 5\\b = -10\end{cases}$，
∴ab = 5×(-10) = -50.
∵2(x - 1)² + 1 = 0与(a + 2)x² + (b - 4)x + 8 = 0是“同族二次方程”，
∴(a + 2)x² + (b - 4)x + 8 = (a + 2)·(x - 1)² + 1，即(a + 2)x² + (b - 4)x + 8 = (a + 2)x² - 2(a + 2)x + a + 3，
∴$\begin{cases}-2(a + 2) = b - 4\\a + 3 = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 5\\b = -10\end{cases}$，
∴ab = 5×(-10) = -50.
2 已知关于$x$的方程$25x^{2}-(k - 1)x + 1 = 0$的左边可以写成一个完全平方式,则$k$的值是_________.
答案：
11或-9
【变式】如果关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx + m + 2 = 0$的左边恰好是一个完全平方式,求$m$的值.
答案：
解：
∵关于x的一元二次方程x² + mx + m + 2 = 0的左边恰好是一个完全平方式，
∴m + 2 = $(\frac{m}{2})^2$，即m² - 4m - 8 = 0，解得m = 2 + 2$\sqrt{3}$或m = 2 - 2$\sqrt{3}$.答：m的值是2 + 2$\sqrt{3}$或2 - 2$\sqrt{3}$.
∵关于x的一元二次方程x² + mx + m + 2 = 0的左边恰好是一个完全平方式，
∴m + 2 = $(\frac{m}{2})^2$，即m² - 4m - 8 = 0，解得m = 2 + 2$\sqrt{3}$或m = 2 - 2$\sqrt{3}$.答：m的值是2 + 2$\sqrt{3}$或2 - 2$\sqrt{3}$.
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