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6 如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O.
(1)求证：AF与DE互相平分.
(2)当△ABC满足______时，四边形ADFE是正方形.
(1)求证：AF与DE互相平分.
(2)当△ABC满足______时，四边形ADFE是正方形.
答案：
(1)证明：
∵ △ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，
∴ EF是△ABC的中位线，AD = BD，
∴ EF//AB，EF = $\frac{1}{2}$AB = AD，
∴ 四边形ADFE是平行四边形，
∴ AF与DE互相平分.
(2)AB = AC，∠BAC = 90°.
提示：由
(1)，得四边形ADFE是平行四边形.
∵ AB = AC，AF是△ABC的中线，
∴ AF⊥BC.
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∴ AF⊥DE，
∴ 平行四边形ADFE是菱形.
又
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 四边形ADFE是正方形.
(1)证明：
∵ △ABC的中线AF与中位线DE相交于点O，
∴ EF是△ABC的中位线，AD = BD，
∴ EF//AB，EF = $\frac{1}{2}$AB = AD，
∴ 四边形ADFE是平行四边形，
∴ AF与DE互相平分.
(2)AB = AC，∠BAC = 90°.
提示：由
(1)，得四边形ADFE是平行四边形.
∵ AB = AC，AF是△ABC的中线，
∴ AF⊥BC.
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∴ AF⊥DE，
∴ 平行四边形ADFE是菱形.
又
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 四边形ADFE是正方形.
7 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，(1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是 ( )
A. (1)处可填∠A=90°
B. (2)处可填AD=AB
C. (3)处可填DC=CB
D. (4)处可填∠B=∠D
A. (1)处可填∠A=90°
B. (2)处可填AD=AB
C. (3)处可填DC=CB
D. (4)处可填∠B=∠D
答案：
D 解析：A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴
(1)处可填∠A = 90°，此选项不符合题意；B.一组邻边相等的矩形是正方形，
∴
(2)处可填AD = AB，此选项不符合题意；C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴
(3)处可填DC = CB，此选项不符合题意；D.有一个角是直角的菱形是正方形，而∠B = ∠D无法判定有一个角是直角，此选项符合题意. 故选D.
∴
(1)处可填∠A = 90°，此选项不符合题意；B.一组邻边相等的矩形是正方形，
∴
(2)处可填AD = AB，此选项不符合题意；C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴
(3)处可填DC = CB，此选项不符合题意；D.有一个角是直角的菱形是正方形，而∠B = ∠D无法判定有一个角是直角，此选项符合题意. 故选D.
8 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. 有下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH是菱形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等. 其中，正确的个数是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：
C 解析：
∵ E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ EF//AC//HG，EF = $\frac{1}{2}$AC = HG，
∴ 四边形EFGH是平行四边形，即当四边形EFGH是平行四边形时，四边形ABCD可为任意四边形，无法推出AC与BD互相平分，③错误；
∵ E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ EH//BD//GF，EH = $\frac{1}{2}$BD = GF，
∴ 当BD = AC时，EF = EH，
∴ 四边形EFGH是菱形，①正确；当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴ 四边形EFGH是矩形，②正确；当四边形EFGH是正方形时，EF = EH且EF⊥EH，此时AC = BD且AC⊥BD，④正确.
∴ 正确的说法为①②④，共3个. 故选C.
∵ E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ EF//AC//HG，EF = $\frac{1}{2}$AC = HG，
∴ 四边形EFGH是平行四边形，即当四边形EFGH是平行四边形时，四边形ABCD可为任意四边形，无法推出AC与BD互相平分，③错误；
∵ E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
∴ EH//BD//GF，EH = $\frac{1}{2}$BD = GF，
∴ 当BD = AC时，EF = EH，
∴ 四边形EFGH是菱形，①正确；当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴ 四边形EFGH是矩形，②正确；当四边形EFGH是正方形时，EF = EH且EF⊥EH，此时AC = BD且AC⊥BD，④正确.
∴ 正确的说法为①②④，共3个. 故选C.
9 [2023·浙江同步练习]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，并且∠DAC=60°，∠ADB=15°，E是AD上一动点，连接EO并延长交BC于点F. 在点E从点D向点A移动的过程中(点E与点D，A不重合)，四边形AFCE的变化情况是 ( )
A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D. 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
A. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B. 平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D. 平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
答案：
C 解析：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，AD//BC，
∴ ∠ACF = ∠CAD. 又
∵ ∠COF = ∠AOE，
∴ △AOE≌△COF，
∴ AE = CF.
∵ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
∵ ∠DAC = 60°，∠ADB = 15°，
∴ ∠AOD = 180° - 60° - 15° = 105°，
∴ 在点E从点D向点A移动的过程中，当∠AOE = 90°时，EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形.
当∠AEC = 90°时，平行四边形AECF是矩形，
∴ OE = OC，∠ACE = 30°，
∴ ∠OEC = 30°，
∴ ∠AOE = 2∠ACE = 60°，即当∠AOE = 60°时，平行四边形AECF是矩形.
综上所述，在点E从点D向点A移动的过程中(点E与点D，A不重合)，四边形AFCE的变化情况是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形. 故选C.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，AD//BC，
∴ ∠ACF = ∠CAD. 又
∵ ∠COF = ∠AOE，
∴ △AOE≌△COF，
∴ AE = CF.
∵ AE//CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
∵ ∠DAC = 60°，∠ADB = 15°，
∴ ∠AOD = 180° - 60° - 15° = 105°，
∴ 在点E从点D向点A移动的过程中，当∠AOE = 90°时，EF⊥AC，
∴ 平行四边形AECF是菱形.
当∠AEC = 90°时，平行四边形AECF是矩形，
∴ OE = OC，∠ACE = 30°，
∴ ∠OEC = 30°，
∴ ∠AOE = 2∠ACE = 60°，即当∠AOE = 60°时，平行四边形AECF是矩形.
综上所述，在点E从点D向点A移动的过程中(点E与点D，A不重合)，四边形AFCE的变化情况是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形. 故选C.
10 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是CD的中点，将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，连接DF，则DF的长是 ( )
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
答案：
D 解析：如答图，连接CF，交BE于点H.
∵ 在正方形ABCD中，AB = 4，E是CD的中点，
∴ BC = CD = 4，CE = DE = 2，∠BCD = 90°，
∴ BE = $\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$.
∵ 将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴ EF = CE = 2，BE⊥CF，FH = CH.
∵ $S_{\triangle BCE}$ = $\frac{1}{2}$BE·CH = $\frac{1}{2}$BC·CE，
∴ CH = $\frac{BC·CE}{BE}$ = $\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴ EH = $\sqrt{CE^{2}-CH^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∵ CE = DE，FH = CH，
∴ DF = 2EH = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$. 故选D.
D 解析：如答图，连接CF，交BE于点H.
∵ 在正方形ABCD中，AB = 4，E是CD的中点，
∴ BC = CD = 4，CE = DE = 2，∠BCD = 90°，
∴ BE = $\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+2^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$.
∵ 将△BCE沿BE翻折，得到△BFE，
∴ EF = CE = 2，BE⊥CF，FH = CH.
∵ $S_{\triangle BCE}$ = $\frac{1}{2}$BE·CH = $\frac{1}{2}$BC·CE，
∴ CH = $\frac{BC·CE}{BE}$ = $\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴ EH = $\sqrt{CE^{2}-CH^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∵ CE = DE，FH = CH，
∴ DF = 2EH = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$. 故选D.
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