《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

11 新题型 新定义运算题[2024·浙江杭州模拟]对于实数a,b,定义运算“⊗”：a⊗b = {ab - b²(a≥b), a² - ab(a ＜ b).例如,5⊗3,因为5 ＞ 3,所以5⊗3 = 5×3 - 3² = 6.若x₁,x₂是一元二次方程x² - 6x + 5 = 0的两个根,则x₁⊗x₂ =________.

答案： $\pm4$

12 数学文化 外国名著[2023·浙江杭州上城期末]有学者认为,阿拉伯数学家花剌子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近,可能受到中国传统数学思想的影响.花剌子米关于x² + 10x = 39的几何求解方法如图(1),先在边长为x的正方形的四条边上向外作两边长分别为x和$\frac{5}{2}$的矩形,再把它补充成一个边长为x + 5的大正方形,我们得到大正方形的面积为(x + 5)² = x² + 10x + 25 = 39 + 25 = 64(因为x² + 10x = 39),所以大正方形的边长为x + 5 = 8,得到x = 3.思考：当我们用这种方法寻找x² + 6x = 7的解时,如图(2)中间小正方形的边长x为________;阴影部分每个正方形的边长为________.

答案： 1 $\frac{3}{2}$

13 新题型 阅读理解题 阅读材料：为解方程(x² - 1)² - 3(x² - 1)=0,我们可以将x² - 1视为一个整体,然后设x² - 1 = y,原方程化为y² - 3y = 0①,解得y₁ = 0,y₂ = 3.
当y = 0时,x² - 1 = 0,x² = 1,∴x = ±1.
当y = 3时,x² - 1 = 3,x² = 4,∴x = ±2.
∴原方程的解为x₁ = 1,x₂ = -1,x₃ = 2,x₄ = -2.
解答下列问题：
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用________法达到了降次的目的,体现了________的数学思想;
(2)利用上述材料中的方法解方程：(x² + 3)² - 4(x² + 3)=0.

答案： 解
(1)换元 转化.
(2)设$x^2 + 3 = m$.
由题意,得$m^2 - 4m = 0$,解得$m_1 = 0,m_2 = 4$,
当$m = 0$时,$x^2 + 3 = 0$,方程无解;
当$m = 4$时,$x^2 + 3 = 4$,解得$x_1 = 1,x_2 = - 1$.
$\therefore$原方程的解为$x_1 = 1,x_2 = - 1$.

阅读材料：
用乘法公式(x + a)(x + b)=x² + (a + b)x + ab的逆运算来进行因式分解,我们把这种方法叫作十字相乘法,即x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b).例如,分解因式x² + 2x - 35的步骤：
①竖分二次项与常数项：x² = x·x,-35 = (-5)×(+7).
②交叉相乘,验中项：7x + (-5x)=2x.
③横向写出两因式：x² + 2x - 35 = (x - 5)(x + 7).
母题：分解因式：x² + 5x + 6.
【变式1】尝试
分解因式：x² + 6x + 8 = (x + ________)(x + ________).
【变式2】应用
请用上述方法解方程：x² - 3x - 4 = 0.

答案： 解 $x^2 + 5x + 6 = x^2+(2 + 3)x + 2\times3=(x + 2)(x + 3)$.
@@2 4 解析 $x^2 + 6x + 8 = x^2+(2 + 4)x + 2\times4=(x + 2)(x + 4)$.
@@解 $\because x^2 - 3x - 4 = 0$,$\therefore x^2+(-4 + 1)x+(-4)\times1 = 0$,$\therefore(x - 4)(x + 1)=0$,$\therefore x + 1 = 0$,或$x - 4 = 0$,解得$x_1 = - 1,x_2 = 4$.