搜索
6. 数学文化 中国古代数学 [2024·四川内江月考]《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如x(x + 6)=16的方程的正数解。如图，将四个长为x + 6，宽为x的长方形纸片(面积为16)拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为16×4 + 36 = 100，边长为10，故得x(x + 6)=16的正数解为x=$\frac{10 - 6}{2}$=2。小明用此方法解关于x的方程x² + mx - n = 0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则 ( )
A. m = 2，n = 3
B. m=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，n = 2
C. m=$\frac{5}{2}$，n = 2
D. m = 2，n=$\frac{5}{2}$
A. m = 2，n = 3
B. m=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，n = 2
C. m=$\frac{5}{2}$，n = 2
D. m = 2，n=$\frac{5}{2}$
答案：
D 解析：将关于x的方程$x^{2}+mx - n = 0$化为$x(x + m)=n$.
可借助题图理解，则题图中小长方形的长为$x + m$，宽为x.
$\because$大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，$\therefore$题图中小正方形的边长是$x + m - x = m=\sqrt{4}=2$，大正方形的边长是$x + x + m = 2x + m=\sqrt{14}$，$\therefore x=\frac{\sqrt{14}-2}{2}$，$\therefore n = x(x + m)=\frac{\sqrt{14}-2}{2}\times(\frac{\sqrt{14}-2}{2}+2)=\frac{\sqrt{14}-2}{2}\times\frac{\sqrt{14}+2}{2}=\frac{(\sqrt{14})^{2}-2^{2}}{4}=\frac{5}{2}$，故$m = 2$，$n=\frac{5}{2}$. 故选D.
可借助题图理解，则题图中小长方形的长为$x + m$，宽为x.
$\because$大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，$\therefore$题图中小正方形的边长是$x + m - x = m=\sqrt{4}=2$，大正方形的边长是$x + x + m = 2x + m=\sqrt{14}$，$\therefore x=\frac{\sqrt{14}-2}{2}$，$\therefore n = x(x + m)=\frac{\sqrt{14}-2}{2}\times(\frac{\sqrt{14}-2}{2}+2)=\frac{\sqrt{14}-2}{2}\times\frac{\sqrt{14}+2}{2}=\frac{(\sqrt{14})^{2}-2^{2}}{4}=\frac{5}{2}$，故$m = 2$，$n=\frac{5}{2}$. 故选D.
7. [2024·浙江台州期末]如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地(单位:m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的$\frac{1}{3}$。设观花道的一条边长为x(如图所示)，则可列方程为 ( )
A. (6 - x)(5 - x)=10
B. (6 + x)(5 + x)=10
C. (6 - x)(5 - x)=20
D. (6 + x)(5 + x)=20
A. (6 - x)(5 - x)=10
B. (6 + x)(5 + x)=10
C. (6 - x)(5 - x)=20
D. (6 + x)(5 + x)=20
答案：
C
8. (PISA试题)[2023·浙江温州期中]如图(1)，把3个边长为a的正方形和4个边长为b的小正方形，拼成一个长方形ABCD。把两个边长为b的小正方形放置在一个边长为a的大正方形中，如图(2)。若图(2)中阴影部分的面积比图(1)中长方形ABCD的面积小81，则边长为a的正方形的面积是________。
答案：
$\frac{216}{13}$
9. [2023·浙江绍兴嵊州期中]如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 4。点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度。P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t s。连接PQ，AC，CP，CQ。
(1)当点P到点C时，t =________；当点Q到终点时，PC的长为________。
(2)用含t的代数式表示PD的长。
(3)当△CPQ的面积为9时，求t的值。
(1)当点P到点C时，t =________；当点Q到终点时，PC的长为________。
(2)用含t的代数式表示PD的长。
(3)当△CPQ的面积为9时，求t的值。
答案：
解：
(1)6 4.
提示：在矩形ABCD中，$AB = 8$，$AD = 4$，$\therefore CD = AB = 8$. 当点P到点C时，运动路程为$AD + CD = 12$，$\therefore t=\frac{12}{2}=6$(s). 当点Q到终点时，$t=\frac{8}{1}=8$(s)，点P回到CD的中点，$\therefore PC = 4$.
(2)当$0\leq t\leq2$时，$PD = 4 - 2t$.
当$2＜t＜6$时，$PD = 2t - 4$.
当$6\leq t\leq8$时，$PD = 8-(2t - 12)=20 - 2t$.
(3)当$0\leq t\leq2$时，$AP = 2t$，$PD = 4 - 2t$，$AQ = t$，$BQ = 8 - t$，
$\therefore S_{\triangle CPQ}=4\times8-\frac{1}{2}\times t\times2t-\frac{1}{2}(8 - t)\times4-\frac{1}{2}(4 - 2t)\times8=-t^{2}+10t = 9$，
解得$t_{1}=1$，$t_{2}=9$(不符合题意，舍去).
当$2＜t＜6$时，$PC = 12 - 2t$，
$\therefore S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}(12 - 2t)\times4=24 - 4t = 9$，
解得$t=\frac{15}{4}$.
当$6\leq t\leq8$时，$PC = 2t - 12$，
$\therefore S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}(2t - 12)\times4=4t - 24 = 9$，
解得$t=\frac{33}{4}$(不符合题意，舍去).
综上所述，当$\triangle CPQ$的面积为9时，$t = 1$或$t=\frac{15}{4}$.
(1)6 4.
提示：在矩形ABCD中，$AB = 8$，$AD = 4$，$\therefore CD = AB = 8$. 当点P到点C时，运动路程为$AD + CD = 12$，$\therefore t=\frac{12}{2}=6$(s). 当点Q到终点时，$t=\frac{8}{1}=8$(s)，点P回到CD的中点，$\therefore PC = 4$.
(2)当$0\leq t\leq2$时，$PD = 4 - 2t$.
当$2＜t＜6$时，$PD = 2t - 4$.
当$6\leq t\leq8$时，$PD = 8-(2t - 12)=20 - 2t$.
(3)当$0\leq t\leq2$时，$AP = 2t$，$PD = 4 - 2t$，$AQ = t$，$BQ = 8 - t$，
$\therefore S_{\triangle CPQ}=4\times8-\frac{1}{2}\times t\times2t-\frac{1}{2}(8 - t)\times4-\frac{1}{2}(4 - 2t)\times8=-t^{2}+10t = 9$，
解得$t_{1}=1$，$t_{2}=9$(不符合题意，舍去).
当$2＜t＜6$时，$PC = 12 - 2t$，
$\therefore S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}(12 - 2t)\times4=24 - 4t = 9$，
解得$t=\frac{15}{4}$.
当$6\leq t\leq8$时，$PC = 2t - 12$，
$\therefore S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}(2t - 12)\times4=4t - 24 = 9$，
解得$t=\frac{33}{4}$(不符合题意，舍去).
综上所述，当$\triangle CPQ$的面积为9时，$t = 1$或$t=\frac{15}{4}$.
查看更多完整答案，请扫码查看
