《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

10 [2023·浙江湖州模拟]如图，在四边形ABCD中AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠AEF=∠EFC，AD=BC.
(1)求证：O是线段AC的中点.
(2)连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形.

答案： 证明：
(1)
∵ ∠AEF = ∠EFC，
∴ AD//BC.
∵ AD = BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AC，BD互相平分，即O是线段AC的中点.
(2)
∵ AD//BC，
∴ ∠EAC = ∠FCA.
在△OAE和△OCF中，{∠EAO = ∠FCO，AO = CO，∠AOE = ∠COF}
∴ △OAE≌△OCF(ASA)，
∴ OE = OF.
又
∵ AO = OC，
∴ 四边形AFCE是平行四边形.

11 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形.
(2)我们知道S△ABD =S△ACD，若AF=FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD，△ACD面积相等的所有三角形.

答案：
(1)证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD = CD.
∵ BE⊥AE，CF⊥AE，
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BED与△CFD中，{∠BED = ∠CFD，∠BDE = ∠CDF，BD = CD}
∴ △BED≌△CFD(AAS)，
∴ ED = FD.
又
∵ BD = CD，
∴ 四边形BFCE是平行四边形.
(2)解：与△ABD和△ACD面积相等的三角形有△CEF，△BEF，△BEC，△BFC.

如图(1)，在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠ADC，E为BC上一动点.

【问题1】求证：四边形ABCD是平行四边形.
【问题2】如图(2)，连接AE，DE，DE=8，若CE=6，BE=10，AE恰好平分∠BAD.
(1)AB的长为________；
(2)四边形ABCD的周长为________，面积为________，S△ABE+S△CDE =________.

答案： 问题1：证明：
∵ AB//CD，
∴ ∠A + ∠ADC = 180°.
∵ ∠B = ∠ADC，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ AD//BC.
又
∵ AB//CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
问题2：
(1)10.
(2)52 128 64.