《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

1 [2024·浙江湖州月考]正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 对角线互相平分
B. 对角相等
C. 对边平行且相等
D. 对角线互相垂直

答案： D

2 链教材P125课内练习第2题改编 若四边形的两条对角线相等且互相垂直，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形______正方形. (填“是”或“不是”)

答案：
是　解析：如答图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC = BD，E，F，G，H分别为各边的中点，EH与AC交于点M，EF与BD交于点N.

∵ E，F，G，H分别为各边的中点，
∴ EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，EF = $\frac{1}{2}$AC，EH = $\frac{1}{2}$BD，
∴ 四边形EFGH是平行四边形.
∵ AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴ ∠MEN = 90°，
∴ 四边形EFGH是矩形.
∵ BD = AC，
∴ EF = EH，
∴ 矩形EFGH是正方形.

3 如图，已知矩形ABCD.
(1)利用直尺和圆规完成以下基本作图：作∠ABC的平分线，交AD于点E，过点E作EF⊥BC交BC于点F. (保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图中，证明：四边形ABFE是正方形.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)解：如答图，BE，EF即为所求.

(2)证明：
∵ EF⊥BC，
∴ ∠EFB = 90°.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠A = ∠ABC = 90°，
∴ ∠A = ∠ABC = ∠EFB = 90°，
∴ 四边形ABFE为矩形.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AEB = ∠EBF.
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠EBF，
∴ ∠AEB = ∠ABE，
∴ AB = AE，
∴ 四边形ABFE为正方形.

4 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 添加下列哪个条件，能使菱形ABCD成为正方形？ ( )
　　　　　　
A. BD=AB
B. AC=AD
C. ∠ABC=90°
D. OD=AC

答案： C　解析：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
(1)有一个内角是直角；
(2)对角线相等. 故选C.

【变式】[2024·浙江台州月考]正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 四条边都相等
B. 对角线互相垂直且平分
C. 对角线相等
D. 对角线平分一组对角

答案： C

5 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA. 求证：四边形AECF是正方形.
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA = OC，OB = OD.
∵ BE = DF，
∴ OE = OF，
∴ 四边形AECF是菱形.
∵ OE = OA，
∴ OE = OF = OA = OC，即EF = AC，
∴ 菱形AECF是正方形.