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10. [2024·重庆北碚期中]实数$a$在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{a^{2}-8a + 16}+\sqrt{(a - 11)^{2}}$的结果为 （ ）
A. 7
B. -7
C. $2a - 15$
D. 无法确定
A. 7
B. -7
C. $2a - 15$
D. 无法确定
答案：
A
11. [2024·浙江杭州月考]当$2 ＜ a ＜ 3$时，代数式$\sqrt{(3 - a)^{2}}+|2 - a|$的值是________.
答案：
1
12. 链教材P12作业题第7题改编[2024·浙江宁波月考]
（1）化简:$4\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{(-3)^{2}},\frac{1}{3}\sqrt{45}$.
（2）新题型 开放性试题 在如图所示的$4\times4$的方格内画一个$\triangle ABC$，使它的顶点都落在格点上，并且使它的三条边长分别为$4\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{(-3)^{2}},\frac{1}{3}\sqrt{45}$.
（1）化简:$4\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{(-3)^{2}},\frac{1}{3}\sqrt{45}$.
（2）新题型 开放性试题 在如图所示的$4\times4$的方格内画一个$\triangle ABC$，使它的顶点都落在格点上，并且使它的三条边长分别为$4\sqrt{\frac{1}{2}},\sqrt{(-3)^{2}},\frac{1}{3}\sqrt{45}$.
答案：
解：
(1)$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(-3)^{2}}=\vert -3\vert = 3$，$\frac{1}{3}\sqrt{45}=\frac{1}{3}\sqrt{5\times9}=\frac{1}{3}\times3\sqrt{5}=\sqrt{5}$.
(2)如答图
解：
(1)$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{(-3)^{2}}=\vert -3\vert = 3$，$\frac{1}{3}\sqrt{45}=\frac{1}{3}\sqrt{5\times9}=\frac{1}{3}\times3\sqrt{5}=\sqrt{5}$.
(2)如答图
13. （1）判断下列各式是否成立(成立的在横线上画“√”，不成立的画“×”).
$\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$；_______
$\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\sqrt{3}$；_______
$\sqrt{\frac{16}{5}-\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\sqrt{4}=\frac{8}{5}$；_______
$\sqrt{\frac{25}{6}-\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}\sqrt{5}$；_______
（2）根据（1）中的结果，将你发现的规律，用含有自然数$n(n\geq2)$的式子表示出来.
（3）请说明你所发现的规律的正确性.
$\sqrt{\frac{4}{3}-\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$；_______
$\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\sqrt{3}$；_______
$\sqrt{\frac{16}{5}-\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\sqrt{4}=\frac{8}{5}$；_______
$\sqrt{\frac{25}{6}-\frac{25}{36}}=\frac{5}{6}\sqrt{5}$；_______
（2）根据（1）中的结果，将你发现的规律，用含有自然数$n(n\geq2)$的式子表示出来.
（3）请说明你所发现的规律的正确性.
答案：
解：
(1)√ √ √ √.
(2)$\sqrt{\frac{n^{2}}{n + 1}-\frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n}{n + 1}\sqrt{n}$.
(3)$\sqrt{\frac{n^{2}}{n + 1}-\frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)-n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n}{n + 1}\sqrt{n}$.
(1)√ √ √ √.
(2)$\sqrt{\frac{n^{2}}{n + 1}-\frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n}{n + 1}\sqrt{n}$.
(3)$\sqrt{\frac{n^{2}}{n + 1}-\frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{n^{2}(n + 1)-n^{2}}{(n + 1)^{2}}}=\frac{n}{n + 1}\sqrt{n}$.
14. （核心素养·推理能力、运算能力）如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB$的长为19厘米，$BC$的长为22厘米，点$P$从点$B$开始沿$BA$边以1厘米/秒的速度向点$A$移动，同时点$Q$也从点$B$开始沿$BC$边以2厘米/秒的速度向点$C$移动.问:几秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米？此时，点$P$，$Q$间的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
答案：
解：设$x$秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米，
则$PB = x$厘米，$BQ = 2x$厘米.
依题意，得$\frac{1}{2}x\cdot2x = 35$，
$x_{1}=\sqrt{35}$，$x_{2}=-\sqrt{35}$(不符合题意，舍去)，
所以$\sqrt{35}$秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米.
$PQ=\sqrt{PB^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=\sqrt{5x^{2}}=\sqrt{5\times35}=5\sqrt{7}$(厘米).
答：$\sqrt{35}$秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米. 此时，点$P$，$Q$间的距离为$5\sqrt{7}$厘米.
解：设$x$秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米，
则$PB = x$厘米，$BQ = 2x$厘米.
依题意，得$\frac{1}{2}x\cdot2x = 35$，
$x_{1}=\sqrt{35}$，$x_{2}=-\sqrt{35}$(不符合题意，舍去)，
所以$\sqrt{35}$秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米.
$PQ=\sqrt{PB^{2}+BQ^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2x)^{2}}=\sqrt{5x^{2}}=\sqrt{5\times35}=5\sqrt{7}$(厘米).
答：$\sqrt{35}$秒后$\triangle PBQ$的面积为35平方厘米. 此时，点$P$，$Q$间的距离为$5\sqrt{7}$厘米.
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