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11 下列计算中，不正确的是 （ ）
A.$\sqrt{12}\times\sqrt{6}=6\sqrt{2}$
B.$\sqrt{63}-\sqrt{28}=\sqrt{7}$
C.$\sqrt{17}\div\sqrt{85}\times\sqrt{5}=\frac{1}{5}$
D.$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}=8 - 4\sqrt{3}$
A.$\sqrt{12}\times\sqrt{6}=6\sqrt{2}$
B.$\sqrt{63}-\sqrt{28}=\sqrt{7}$
C.$\sqrt{17}\div\sqrt{85}\times\sqrt{5}=\frac{1}{5}$
D.$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}=8 - 4\sqrt{3}$
答案：
C
12 [2024·广东深圳期中]下列各数中，与$\sqrt{2}$的积仍为无理数的是 （ ）
A.$\sqrt{\frac{1}{8}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{28}$
A.$\sqrt{\frac{1}{8}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{28}$
答案：
D
13 [2023·浙江金华月考]若$\sqrt{12}$与$\sqrt{3}a$的积为-1，则$a$的值是______.
答案：
$-\frac{1}{6}$
14 计算：
（1）$\frac{\sqrt{24}\times\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$；
（2）$\sqrt{18}+4\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{5}\times\sqrt{10}$；
（3）$\frac{3\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}}\div\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（4）$(\sqrt{11}-\sqrt{15})(\sqrt{15}+\sqrt{11})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$.
（1）$\frac{\sqrt{24}\times\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$；
（2）$\sqrt{18}+4\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{5}\times\sqrt{10}$；
（3）$\frac{3\sqrt{12}+\sqrt{27}}{\sqrt{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}}\div\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（4）$(\sqrt{11}-\sqrt{15})(\sqrt{15}+\sqrt{11})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$.
答案：
解
(1) 原式 $=\sqrt{\frac{24\times6}{3}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
(2) 原式 $=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{5\times10}$
$=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-5\sqrt{2}$
$=0$.
(3) 原式 $=3\sqrt{\frac{12}{3}}+\sqrt{\frac{27}{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}\div\frac{1}{6}}$
$=6 + 3-\frac{3}{2}$
$=\frac{15}{2}$.
(4) 原式 $=(\sqrt{11})^{2}-(\sqrt{15})^{2}-[(2\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}]$
$=11-15-(12 - 4\sqrt{6}+2)$
$=11-15-12 + 4\sqrt{6}-2$
$=4\sqrt{6}-18$.
(1) 原式 $=\sqrt{\frac{24\times6}{3}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
(2) 原式 $=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{5\times10}$
$=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-5\sqrt{2}$
$=0$.
(3) 原式 $=3\sqrt{\frac{12}{3}}+\sqrt{\frac{27}{3}}-\sqrt{\frac{3}{8}\div\frac{1}{6}}$
$=6 + 3-\frac{3}{2}$
$=\frac{15}{2}$.
(4) 原式 $=(\sqrt{11})^{2}-(\sqrt{15})^{2}-[(2\sqrt{3})^{2}-4\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}]$
$=11-15-(12 - 4\sqrt{6}+2)$
$=11-15-12 + 4\sqrt{6}-2$
$=4\sqrt{6}-18$.
15（易错题）王聪学习了二次根式的性质$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$后，他认为该公式逆过来$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$也应该是成立的，于是这样化简下面一题：$\sqrt{\frac{-27}{-3}}=\frac{\sqrt{-27}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{(-3)\times9}}{\sqrt{-3}}=\frac{\sqrt{-3}\times\sqrt{9}}{\sqrt{-3}}=\sqrt{9}=$
3. 他的化简过程正确吗？请说明理由.
3. 他的化简过程正确吗？请说明理由.
答案：
解 不正确. 理由如下：
因为 $\frac{-27}{-3}=\frac{27}{3}$，$\sqrt{\frac{-27}{-3}}$ 有意义，而 $\frac{\sqrt{-27}}{\sqrt{-3}}$ 中的二次根式无意义，
所以他的化简过程不正确.
因为 $\frac{-27}{-3}=\frac{27}{3}$，$\sqrt{\frac{-27}{-3}}$ 有意义，而 $\frac{\sqrt{-27}}{\sqrt{-3}}$ 中的二次根式无意义，
所以他的化简过程不正确.
16 小明在学习时发现了一个“有趣”的现象：
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}}\times\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\times3}=\sqrt{12}$，①
$-2\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^{2}}\times\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^{2}\times3}=\sqrt{12}$，②
$\therefore 2\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$.③
$\therefore 2=-2$.④
（1）上面的推导过程中，从第______步开始出现错误（填写序号即可）.
（2）写出该步的正确结果.
$\because 2\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}}\times\sqrt{3}=\sqrt{2^{2}\times3}=\sqrt{12}$，①
$-2\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^{2}}\times\sqrt{3}=\sqrt{(-2)^{2}\times3}=\sqrt{12}$，②
$\therefore 2\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$.③
$\therefore 2=-2$.④
（1）上面的推导过程中，从第______步开始出现错误（填写序号即可）.
（2）写出该步的正确结果.
答案：
解
(1) ②.
(2) $-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^{2}\times3}=-\sqrt{2^{2}\times3}=-\sqrt{12}$.
(1) ②.
(2) $-2\sqrt{3}=-\sqrt{2^{2}\times3}=-\sqrt{2^{2}\times3}=-\sqrt{12}$.
17 数学文化 外国名著 阅读与计算：
古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，记$p=\frac{1}{2}(a + b + c)$，那么三角形的面积为$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（海伦公式）. 若在$\triangle ABC$中，$BC = 4$，$AC = 5$，$AB = 6$，请利用上面的公式求出$\triangle ABC$的面积.
古希腊的几何学家海伦，在他的著作《度量》一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，记$p=\frac{1}{2}(a + b + c)$，那么三角形的面积为$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（海伦公式）. 若在$\triangle ABC$中，$BC = 4$，$AC = 5$，$AB = 6$，请利用上面的公式求出$\triangle ABC$的面积.
答案：
解 $\because BC = 4,AC = 5,AB = 6,\therefore p=\frac{1}{2}(4 + 5+6)=\frac{15}{2}$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\sqrt{\frac{15}{2}\times(\frac{15}{2}-4)\times(\frac{15}{2}-5)\times(\frac{15}{2}-6)}=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{7}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{15^{2}\times7}{4^{2}}}=\frac{15}{4}\sqrt{7}$.
$\therefore S_{\triangle ABC}=\sqrt{\frac{15}{2}\times(\frac{15}{2}-4)\times(\frac{15}{2}-5)\times(\frac{15}{2}-6)}=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{7}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{15^{2}\times7}{4^{2}}}=\frac{15}{4}\sqrt{7}$.
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