《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

1 用直接开平方法解方程：$x^{2}-\frac{100}{9}=0$.

答案： 解：
∵$x^{2}-\frac{100}{9}=0$，
∴$x^{2}=\frac{100}{9}$，
∴$x_{1}=\frac{10}{3},x_{2}=-\frac{10}{3}$.

【变式】[2022·浙江嘉兴秀洲期中]用直接开平方法解方程：$(x - 1)^{2}=4$.

答案： 解：
∵$(x - 1)^{2}=4$，
∴$x - 1=\pm2$，解得$x_{1}=3,x_{2}=-1$.

2 [2023·浙江宁波海曙期中]用配方法解方程：$x^{2}-10x + 8=0$.

答案： 解：移项，得$x^{2}-10x=-8$.
方程的两边同加上25，得$x^{2}-10x + 25=-8 + 25$，
即$(x - 5)^{2}=17$，
则$x - 5=\sqrt{17}$，或$x - 5=-\sqrt{17}$，
解得$x_{1}=5+\sqrt{17},x_{2}=5-\sqrt{17}$.

【变式】用配方法解下列方程：
(1)$3x^{2}-4x + 1=0$；
(2)$\frac{2}{3}x^{2}-\frac{1}{3}x - 2=0$.

答案： 解：
(1)方程的两边同除以3，得$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$.
方程的两边同加上$\frac{4}{9}$，得$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$，
即$(x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，
则$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，或$x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$，
解得$x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{3}$.
(2)将方程变形为$x^{2}-\frac{1}{2}x=3$.
方程的两边同加上$(\frac{1}{4})^{2}$，得$x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}=3+(\frac{1}{4})^{2}$，
即$(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{49}{16}$，
则$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，或$x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$，
解得$x_{1}=2,x_{2}=-\frac{3}{2}$.

3 用公式法解方程：$x^{2}=6x + 16$.

答案： 解：移项，得$x^{2}-6x - 16=0$.
∵$a = 1,b=-6,c=-16$，
$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\times1\times(-16)=100＞0$，
∴$x=\frac{6\pm10}{2\times1}$，解得$x_{1}=8,x_{2}=-2$.

【变式】用公式法解方程：$\sqrt{3}x^{2}-6x-\sqrt{3}=0$.

答案： 解：对方程$\sqrt{3}x^{2}-6x-\sqrt{3}=0$，
$a=\sqrt{3},b=-6,c=-\sqrt{3}$，
$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\times\sqrt{3}\times(-\sqrt{3})=48＞0$，
∴$x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{2\times\sqrt{3}}$，解得$x_{1}=\sqrt{3}+2,x_{2}=\sqrt{3}-2$.

4 用因式分解法解方程：$x^{2}-5x=0$.

答案： 解：将方程的左边分解因式，得$x(x - 5)=0$，
则$x = 0$，或$x - 5=0$，
解得$x_{1}=0,x_{2}=5$.

【变式】[2024·浙江台州月考]用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}+6x + 5=0$；
(2)$2x^{2}-x - 6=0$；
(3)$x^{2}-2x - 8=0$；
(4)$2(x + 4)^{2}=5(x + 4)$.

答案： 解：
(1)$x_{1}=-1,x_{2}=-5$.
(2)$x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=2$.
(3)$x_{1}=4,x_{2}=-2$.
(4)$x_{1}=-\frac{3}{2},x_{2}=-4$.