《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

1 链教材P88作业题第5题改编 已知：如图，在□ABCD中，过AC的中点O的直线分别交CB，AD的延长线于点E，F. 求证：BE = DF.
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
∵O是AC的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，AD=BC，
∴∠FAC=∠ECA.
在△COE和△AOF中，$\begin{cases} \angle COE=\angle AOF \\ CO = AO \\ \angle ECO=\angle FAO \end{cases}$，
∴△COE≌△AOF(ASA)，
∴CE=AF，
∴CE - BC=AF - AD，即BE=DF.

【变式1】如图，在□ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE = DF，EF与AC相交于点P. 求证：点P是□ABCD对角线的交点.
　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠AEP=∠CFP.
∵BE=DF，
∴AB - BE=CD - DF，即AE=CF.
在△AEP和△CFP中，$\begin{cases} \angle AEP=\angle CFP \\ \angle APE=\angle CPF \\ AE = CF \end{cases}$，
∴△AEP≌△CFP(AAS)，
∴PA=PC，即点P是▱ABCD对角线的交点.

【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE = CF. 求证：四边形EGFH是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠HCF.
∵G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG=CH.
在△AGE和△CHF中，$\begin{cases} AG = CH \\ \angle GAE=\angle HCF \\ AE = CF \end{cases}$，
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE//HF.
又
∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形.

【变式3】如图，O为□ABCD的对角线AC的中点，过点O作一直线，分别交AB，CD于点M，N，点E，F在直线MN上，OE = OF.
(1)直接写出图中所有的全等三角形.
(2)求证：∠EAM = ∠FCN.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)解：全等三角形有△ABC与△CDA，△AOM与△CON，△AME与△CNF，△AOE与△COF.
(2)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
在△AOE和△COF中，$\begin{cases} AO = CO \\ \angle AOE=\angle COF \\ OE = OF \end{cases}$，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠OAE=∠OCF.
∵AB//CD，
∴∠OCN=∠OAM，
∴∠OAE - ∠OAM=∠OCF - ∠OCN，即∠EAM=∠FCN.