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12. 若式子$\sqrt{-\frac{1}{x}}$有意义,则点$(x,\sqrt{-x})$在 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
答案：
B
13. [2024·浙江宁波开学考试]已知$a,b$为实数,且$a,b$满足$b - 2 = \sqrt{a - 2}-\frac{1}{2}\sqrt{4 - 2a}-5$,则$a^{b}=$________.
答案：
$\frac{1}{8}$
14. [2023·浙江绍兴上虞区期中]若$x,y$都是实数,且$y = \sqrt{x - 3}+\sqrt{3 - x}+8$,求$x + y$的值.
答案：
解 由题意，得$\begin{cases}x - 3\geq0\\3 - x\geq0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x\geq3\\x\leq3\end{cases}$，$\therefore x = 3$.
当$x = 3$时，$y = 8$，$\therefore x + y=3 + 8 = 11$.
当$x = 3$时，$y = 8$，$\therefore x + y=3 + 8 = 11$.
15. [2024·浙江金华期中](1)若实数$m,n$满足等式$|m - 2|+\sqrt{n - 4}=0$,求$\sqrt[3]{2m + n}$的值;
(2)已知$y = \sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$,求$x + y$的平方根.
(2)已知$y = \sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$,求$x + y$的平方根.
答案：
解
(1)$\because|m - 2|+\sqrt{n - 4}=0$，
$\therefore m - 2 = 0$，$n - 4 = 0$，
解得$m = 2$，$n = 4$，
$\therefore\sqrt[3]{2m + n}=\sqrt[3]{2\times2 + 4}=\sqrt[3]{8}=2$.
(2)$\because y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$，
$\therefore x - 24\geq0$，且$24 - x\geq0$，
$\therefore x = 24$，则$y=\sqrt{24 - 24}+\sqrt{24 - 24}-8=-8$，
$\therefore x + y=24+( - 8)=16$，则$x + y$的平方根是$\pm4$.
(1)$\because|m - 2|+\sqrt{n - 4}=0$，
$\therefore m - 2 = 0$，$n - 4 = 0$，
解得$m = 2$，$n = 4$，
$\therefore\sqrt[3]{2m + n}=\sqrt[3]{2\times2 + 4}=\sqrt[3]{8}=2$.
(2)$\because y=\sqrt{x - 24}+\sqrt{24 - x}-8$，
$\therefore x - 24\geq0$，且$24 - x\geq0$，
$\therefore x = 24$，则$y=\sqrt{24 - 24}+\sqrt{24 - 24}-8=-8$，
$\therefore x + y=24+( - 8)=16$，则$x + y$的平方根是$\pm4$.
16. [2024·四川达州期中]已知$\sqrt{a - 25}+2\sqrt{25 - a}=b - 7$.
(1)求$a$的值;
(2)若$a,b$分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长,求另一条直角边的长度.
(1)求$a$的值;
(2)若$a,b$分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长,求另一条直角边的长度.
答案：
解
(1)$\because\sqrt{a - 25}+2\sqrt{25 - a}=b - 7$，
$\therefore\begin{cases}a - 25\geq0\\25 - a\geq0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a\geq25\\a\leq25\end{cases}$，$\therefore a = 25$.
(2)$\because\sqrt{a - 25}+2\sqrt{25 - a}=b - 7$，$a = 25$，
$\therefore b - 7 = 0$，解得$b = 7$.
$\because a$，$b$分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，
$\therefore$另一条直角边的长度为$\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$.
(1)$\because\sqrt{a - 25}+2\sqrt{25 - a}=b - 7$，
$\therefore\begin{cases}a - 25\geq0\\25 - a\geq0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a\geq25\\a\leq25\end{cases}$，$\therefore a = 25$.
(2)$\because\sqrt{a - 25}+2\sqrt{25 - a}=b - 7$，$a = 25$，
$\therefore b - 7 = 0$，解得$b = 7$.
$\because a$，$b$分别为一直角三角形的斜边长和一直角边长，
$\therefore$另一条直角边的长度为$\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$.
17. (核心素养·运算能力)我们已经学习了整式、分式和二次根式,当被除数是一个二次根式,除数是一个整式时,求得的商就会出现类似$\frac{\sqrt{b}}{a}$的形式,我们把形如$\frac{\sqrt{b}}{a}$的式子称为根分式. 例如,$\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$都是根分式.
(1)给出下列式子:①$\frac{a}{a^{2}+1}$;②$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x + 1}}$;③$\frac{\sqrt{a^{2}+3}}{2}$. 其中,________是根分式(填写序号即可).
(2)写出根分式$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$中$x$的取值范围:________.
(3)已知两个根分式$M = \frac{\sqrt{x^{2}-6x + 7}}{x - 2},N = \frac{\sqrt{2x - 1}}{x - 2}$,且$M^{2}-N^{2}=1$,求$x$的值.
(1)给出下列式子:①$\frac{a}{a^{2}+1}$;②$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x + 1}}$;③$\frac{\sqrt{a^{2}+3}}{2}$. 其中,________是根分式(填写序号即可).
(2)写出根分式$\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$中$x$的取值范围:________.
(3)已知两个根分式$M = \frac{\sqrt{x^{2}-6x + 7}}{x - 2},N = \frac{\sqrt{2x - 1}}{x - 2}$,且$M^{2}-N^{2}=1$,求$x$的值.
答案：
解
(1)③.
(2)$x\geq1$且$x\neq2$.
提示：由题意，得$\begin{cases}x - 1\geq0\\x - 2\neq0\end{cases}$，解得$x\geq1$且$x\neq2$.
(3)$M^{2}=\frac{x^{2}-6x + 7}{(x - 2)^{2}}$，$N^{2}=\frac{2x - 1}{(x - 2)^{2}}$.
$\because M^{2}-N^{2}=1$，$\therefore\frac{x^{2}-6x + 7-2x + 1}{(x - 2)^{2}}=1$，$\therefore\frac{x^{2}-8x + 8}{(x - 2)^{2}}=1$，
$\therefore x^{2}-8x + 8=x^{2}-4x + 4$，$\therefore -4x=-4$，解得$x = 1$.
经检验，$x = 1$是原方程的解.
故$x$的值为 1.
(1)③.
(2)$x\geq1$且$x\neq2$.
提示：由题意，得$\begin{cases}x - 1\geq0\\x - 2\neq0\end{cases}$，解得$x\geq1$且$x\neq2$.
(3)$M^{2}=\frac{x^{2}-6x + 7}{(x - 2)^{2}}$，$N^{2}=\frac{2x - 1}{(x - 2)^{2}}$.
$\because M^{2}-N^{2}=1$，$\therefore\frac{x^{2}-6x + 7-2x + 1}{(x - 2)^{2}}=1$，$\therefore\frac{x^{2}-8x + 8}{(x - 2)^{2}}=1$，
$\therefore x^{2}-8x + 8=x^{2}-4x + 4$，$\therefore -4x=-4$，解得$x = 1$.
经检验，$x = 1$是原方程的解.
故$x$的值为 1.
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