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9. 如图，把菱形ABCD沿AH折叠，点B落在BC边上的点E处. 若∠BAE=40°，则∠EDC的大小为 （ ）
A. 10°
B. 15°
C. 18°
D. 20°
A. 10°
B. 15°
C. 18°
D. 20°
答案：
9.B 解析
∵将菱形ABCD沿AH折叠，点B落在BC边上的点E处，
∴AB = AE.
∵∠BAE = 40°，
∴$∠B = ∠AEB=\frac{1}{2}×(180° - 40°)=70°$.
∵在菱形ABCD中，AB = AD，∠ADC = ∠B = 70°，AD//BC，
∴∠DAE = ∠AEB = 70°.
∵AB = AE，AB = AD，
∴AE = AD，
∴$∠ADE=\frac{1}{2}×(180° - ∠DAE)=\frac{1}{2}×(180° - 70°)=55°$，
∴∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 70° - 55° = 15°.故选B.
∵将菱形ABCD沿AH折叠，点B落在BC边上的点E处，
∴AB = AE.
∵∠BAE = 40°，
∴$∠B = ∠AEB=\frac{1}{2}×(180° - 40°)=70°$.
∵在菱形ABCD中，AB = AD，∠ADC = ∠B = 70°，AD//BC，
∴∠DAE = ∠AEB = 70°.
∵AB = AE，AB = AD，
∴AE = AD，
∴$∠ADE=\frac{1}{2}×(180° - ∠DAE)=\frac{1}{2}×(180° - 70°)=55°$，
∴∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 70° - 55° = 15°.故选B.
10. [2024·浙江金华期末]菱形的周长为32 cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为 （ ）
A. 32√3 cm²
B. 16√3 cm²
C. 32 cm²
D. 16 cm²
A. 32√3 cm²
B. 16√3 cm²
C. 32 cm²
D. 16 cm²
答案：
10.A 解析如答图，菱形ABCD的周长为32cm，∠BAD = 120°，对角线AC，BD交于点E，
∴AB = BC = CD = AD = 32÷4 = 8 (cm)，AC⊥BD，
∴∠AEB = 90°，∠BAE = $∠DAE=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×120° = 60°$，
∴∠ABE = 90° - 60° = 30°，
∴$CE = AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4$(cm)，
∴AC = 8cm，
∴$DE = BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}$(cm)，
∴$BD = 8\sqrt{3}$cm，
∴菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×8×8\sqrt{3}=32\sqrt{3}$($cm^{2}$).故选A.
10.A 解析如答图，菱形ABCD的周长为32cm，∠BAD = 120°，对角线AC，BD交于点E，
∴AB = BC = CD = AD = 32÷4 = 8 (cm)，AC⊥BD，
∴∠AEB = 90°，∠BAE = $∠DAE=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×120° = 60°$，
∴∠ABE = 90° - 60° = 30°，
∴$CE = AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8 = 4$(cm)，
∴AC = 8cm，
∴$DE = BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}$(cm)，
∴$BD = 8\sqrt{3}$cm，
∴菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×8×8\sqrt{3}=32\sqrt{3}$($cm^{2}$).故选A.
11. （PISA试题）[2024·上海校级月考]如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD分别为6,8，点M是边BC的中点，点N是边CD上一点，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为_______.
答案：
11.$\frac{24}{5}$ 解析如答图，作点M关于BD的对称点Q，连接NQ交BD于点P，连接MQ.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP = ∠MBP，AB = BC，即Q在AB上，AB与CB关于BD成轴对称，
∴MQ⊥BD.
∵点M为BC的中点，
∴$BM = CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$BQ = BM=\frac{1}{2}AB$，
∴Q为AB的中点.
∵N为CD上一动点，
∴当QN⊥CD时，QN最短，即$PM + PN = PQ + PN = QN$最短.
∵四边形ABCD是菱形，
∴$CO=\frac{1}{2}AC = 3$，$BO=\frac{1}{2}BD = 4$.在$Rt△BOC$中，$BC=\sqrt{CO^{2}+BO^{2}} = 5$.由等面积法可得$\frac{1}{2}×6×8 = 5QN$，
∴$QN=\frac{24}{5}$，
∴$PM + PN$的最小值为$\frac{24}{5}$.
11.$\frac{24}{5}$ 解析如答图，作点M关于BD的对称点Q，连接NQ交BD于点P，连接MQ.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP = ∠MBP，AB = BC，即Q在AB上，AB与CB关于BD成轴对称，
∴MQ⊥BD.
∵点M为BC的中点，
∴$BM = CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$BQ = BM=\frac{1}{2}AB$，
∴Q为AB的中点.
∵N为CD上一动点，
∴当QN⊥CD时，QN最短，即$PM + PN = PQ + PN = QN$最短.
∵四边形ABCD是菱形，
∴$CO=\frac{1}{2}AC = 3$，$BO=\frac{1}{2}BD = 4$.在$Rt△BOC$中，$BC=\sqrt{CO^{2}+BO^{2}} = 5$.由等面积法可得$\frac{1}{2}×6×8 = 5QN$，
∴$QN=\frac{24}{5}$，
∴$PM + PN$的最小值为$\frac{24}{5}$.
12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=1/2AC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE=CD.
(2)若菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，求AE的长.
(1)求证：OE=CD.
(2)若菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，求AE的长.
答案：
(1)证明
∵四边形ABCD是菱形，
∴$OC=\frac{1}{2}AC$，$AC⊥BD$，
∴∠COD = 90°.
又
∵$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴DE = OC.
又
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形.
又
∵∠COD = 90°，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴OE = CD.
(2)解
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC.
∵∠ABC = 60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC = AB = 8，
∴AO = 4.
∴在矩形OCED中，$CE = OD=\sqrt{AD^{2}-AO^{2}} = 4\sqrt{3}$.
∵四边形DOCE为矩形，
∴∠OCE = 90°，
∴$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{8^{2}+(4\sqrt{3})^{2}} = 4\sqrt{7}$.
(1)证明
∵四边形ABCD是菱形，
∴$OC=\frac{1}{2}AC$，$AC⊥BD$，
∴∠COD = 90°.
又
∵$DE=\frac{1}{2}AC$，
∴DE = OC.
又
∵DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形.
又
∵∠COD = 90°，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴OE = CD.
(2)解
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC.
∵∠ABC = 60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC = AB = 8，
∴AO = 4.
∴在矩形OCED中，$CE = OD=\sqrt{AD^{2}-AO^{2}} = 4\sqrt{3}$.
∵四边形DOCE为矩形，
∴∠OCE = 90°，
∴$AE=\sqrt{AC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{8^{2}+(4\sqrt{3})^{2}} = 4\sqrt{7}$.
13. 如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，P为AD边上任意一点（不包括端点），连接AC，过点P作PQ//AC交边CD于点Q，R为线段AC上的一点.
(1)若R为菱形ABCD的对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，连接PR，QR，求PR+QR的值.
(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值.
(3)当PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写出作法并直接写出PR+QR+PQ的最小值.
(1)若R为菱形ABCD的对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，连接PR，QR，求PR+QR的值.
(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值.
(3)当PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写出作法并直接写出PR+QR+PQ的最小值.
答案：
13.解
(1)
∵R为菱形ABCD的对角线的交点，
∴AD//BC，AB = AD = BC = CD，∠ADC = ∠ABC，AR = CR.
∵PQ为△ACD的中位线，AB = 4，
∴$AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB = 2 = CQ$.
∵∠ADC = ∠ABC = 60°，AB = BC，AD = DC，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AC = 4，AR = CR = 2，∠DAC = ∠DCA = 60°，
∴△APR和△CQR都是等边三角形，
∴PR = AP = QR = CQ = 2，
∴PR + QR = 4.
(2)如答图
(1)，作点Q关于AC的对称点Q'，连接RQ'，AQ'，PC.
当P，R，Q'在同一条直线上且PQ'⊥BC时，PR + QR的值最小，即为PQ'的长.
易知AP = CQ = CQ'，AP//CQ'，
∴四边形AQ'CP为平行四边形，
∴R为AC的中点.
当PQ'⊥BC时，PQ'的长取得最小值，
此时将PQ'向左平移得到P'Q''，使点P'与点A重合，则$PQ' = P'Q''$.
由
(1)知△ABC是等边三角形，
∴BC = AB = 4，
∴$BQ''=\frac{1}{2}BC = 2$，
∴在$Rt△ABQ''$中，由勾股定理，得$P'Q'' = 2\sqrt{3}$，
∴当PR + QR的值最小时，R为AC的中点，PR + QR的最小值为$2\sqrt{3}$.
(3)如答图
(2)，取AD的中点P，过点P作PQ//AC，则点P，Q即为所求.
PR + QR + PQ的最小值为6.
13.解
(1)
∵R为菱形ABCD的对角线的交点，
∴AD//BC，AB = AD = BC = CD，∠ADC = ∠ABC，AR = CR.
∵PQ为△ACD的中位线，AB = 4，
∴$AP=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}AB = 2 = CQ$.
∵∠ADC = ∠ABC = 60°，AB = BC，AD = DC，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AC = 4，AR = CR = 2，∠DAC = ∠DCA = 60°，
∴△APR和△CQR都是等边三角形，
∴PR = AP = QR = CQ = 2，
∴PR + QR = 4.
(2)如答图
(1)，作点Q关于AC的对称点Q'，连接RQ'，AQ'，PC.
当P，R，Q'在同一条直线上且PQ'⊥BC时，PR + QR的值最小，即为PQ'的长.
易知AP = CQ = CQ'，AP//CQ'，
∴四边形AQ'CP为平行四边形，
∴R为AC的中点.
当PQ'⊥BC时，PQ'的长取得最小值，
此时将PQ'向左平移得到P'Q''，使点P'与点A重合，则$PQ' = P'Q''$.
由
(1)知△ABC是等边三角形，
∴BC = AB = 4，
∴$BQ''=\frac{1}{2}BC = 2$，
∴在$Rt△ABQ''$中，由勾股定理，得$P'Q'' = 2\sqrt{3}$，
∴当PR + QR的值最小时，R为AC的中点，PR + QR的最小值为$2\sqrt{3}$.
(3)如答图
(2)，取AD的中点P，过点P作PQ//AC，则点P，Q即为所求.
PR + QR + PQ的最小值为6.
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