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14 [2024·浙江金华期末]已知关于$x$的方程$(m^{2}-6m + 10)x^{2}-4x + n = 0$.
(1)小聪说：“该方程一定为一元二次方程.”小聪的结论正确吗？请说明理由.
(2)当$m = 2$时：
①若该方程有实数解，求$n$的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为$x_1$和$x_2$，满足$(x_1 - 2)^{2}+(x_2 - 2)^{2}+n^{2}=16$，求$n$的值.
(1)小聪说：“该方程一定为一元二次方程.”小聪的结论正确吗？请说明理由.
(2)当$m = 2$时：
①若该方程有实数解，求$n$的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为$x_1$和$x_2$，满足$(x_1 - 2)^{2}+(x_2 - 2)^{2}+n^{2}=16$，求$n$的值.
答案：
解：
(1)正确. 理由如下：
∵$m^{2}-6m + 10=m^{2}-6m + 9 + 1=(m - 3)^{2}+1\geqslant1$，
∴$m^{2}-6m + 10≠0$，
∴关于$x$的方程$(m^{2}-6m + 10)x^{2}-4x + n = 0$一定为一元二次方程.
(2)当$m = 2$时，$m^{2}-6m + 10=2^{2}-6×2 + 10=2$，
∴该方程为$2x^{2}-4x + n = 0$.①
∵该方程有实数解，
∴$(-4)^{2}-4×2n\geqslant0$，解得$n\leqslant2$.②由$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}=16$整理，得$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 + n^{2}=16$.
∵$x_{1}$和$x_{2}$是方程$2x^{2}-4x + n = 0$的两个实数解，
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{n}{2}$.代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 + n^{2}=16$，得$2^{2}-2×\frac{n}{2}-4×2 + 8 + n^{2}=16$.整理，得$n^{2}-n - 12=0$，
∴$(n - 4)(n + 3)=0$，解得$n_{1}=4$，$n_{2}=-3$.
∵由①，得$n\leqslant2$，
∴$n=-3$.
(1)正确. 理由如下：
∵$m^{2}-6m + 10=m^{2}-6m + 9 + 1=(m - 3)^{2}+1\geqslant1$，
∴$m^{2}-6m + 10≠0$，
∴关于$x$的方程$(m^{2}-6m + 10)x^{2}-4x + n = 0$一定为一元二次方程.
(2)当$m = 2$时，$m^{2}-6m + 10=2^{2}-6×2 + 10=2$，
∴该方程为$2x^{2}-4x + n = 0$.①
∵该方程有实数解，
∴$(-4)^{2}-4×2n\geqslant0$，解得$n\leqslant2$.②由$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}=16$整理，得$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 + n^{2}=16$.
∵$x_{1}$和$x_{2}$是方程$2x^{2}-4x + n = 0$的两个实数解，
∴$x_{1}+x_{2}=-\frac{-4}{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{n}{2}$.代入$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 + n^{2}=16$，得$2^{2}-2×\frac{n}{2}-4×2 + 8 + n^{2}=16$.整理，得$n^{2}-n - 12=0$，
∴$(n - 4)(n + 3)=0$，解得$n_{1}=4$，$n_{2}=-3$.
∵由①，得$n\leqslant2$，
∴$n=-3$.
15 [2023·浙江杭州拱墅期中]已知方程$x^{2}+bx + a = 0$①和方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$（$a\neq0$）②.
(1)若方程①的根为$x_1 = 2,x_2 = 3$，求方程②的根.
(2)当方程①有一根为$x = r$时，求证：$x=\frac{1}{r}$是方程②的根.
(3)若$a^{2}b + b = 0$，方程①的根是$m$与$n$，方程②的根是$s$和$t$，求$\frac{ms}{nt}$的值.
(1)若方程①的根为$x_1 = 2,x_2 = 3$，求方程②的根.
(2)当方程①有一根为$x = r$时，求证：$x=\frac{1}{r}$是方程②的根.
(3)若$a^{2}b + b = 0$，方程①的根是$m$与$n$，方程②的根是$s$和$t$，求$\frac{ms}{nt}$的值.
答案：
(1)解：
∵方程$x^{2}+bx + a = 0$的根为$x_{1}=2$，$x_{2}=3$，
∴$-b=2 + 3=5$，$a=2×3=6$，
∴方程②为$6x^{2}-5x + 1 = 0$，即$(3x - 1)(2x - 1)=0$，
∴方程②的根为$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$.
(2)证明：
∵方程①有一根为$x = r$，
∴$r^{2}+br + a = 0$.方程的两边同除以$r^{2}$，得$\frac{a}{r^{2}}+\frac{b}{r}+1 = 0$，
∴$\frac{1}{r}$是方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$的根，
∴$x=\frac{1}{r}$是方程②的根.
(3)解：
∵$a^{2}b + b = 0$，
∴$b = 0$.
∵方程①的根是$m$与$n$，方程②的根是$s$和$t$，
∴$m + n = 0$，$mn = a$，$s + t = 0$，$st=\frac{1}{a}$，
∴$a=\frac{1}{st}=mn$，$m=-n$，$s=-t$，
∴$ms = nt$，
∴$\frac{ms}{nt}=1$.
(1)解：
∵方程$x^{2}+bx + a = 0$的根为$x_{1}=2$，$x_{2}=3$，
∴$-b=2 + 3=5$，$a=2×3=6$，
∴方程②为$6x^{2}-5x + 1 = 0$，即$(3x - 1)(2x - 1)=0$，
∴方程②的根为$x_{1}=\frac{1}{3}$，$x_{2}=\frac{1}{2}$.
(2)证明：
∵方程①有一根为$x = r$，
∴$r^{2}+br + a = 0$.方程的两边同除以$r^{2}$，得$\frac{a}{r^{2}}+\frac{b}{r}+1 = 0$，
∴$\frac{1}{r}$是方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$的根，
∴$x=\frac{1}{r}$是方程②的根.
(3)解：
∵$a^{2}b + b = 0$，
∴$b = 0$.
∵方程①的根是$m$与$n$，方程②的根是$s$和$t$，
∴$m + n = 0$，$mn = a$，$s + t = 0$，$st=\frac{1}{a}$，
∴$a=\frac{1}{st}=mn$，$m=-n$，$s=-t$，
∴$ms = nt$，
∴$\frac{ms}{nt}=1$.
16 新题型 阅读理解题 请阅读下列材料：$x^{2}+x - 1 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍. 解：设所求方程的根为$y$，则$y = 2x$，所以$x=\frac{y}{2}$. 把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程，得$(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1 = 0$. 化简，得$y^{2}+2y - 4 = 0$，故所求方程为$y^{2}+2y - 4 = 0$. 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
(1)已知方程$x^{2}+x - 2 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数. 解：设所求方程的根为$y$，则所求方程为_______.
(2)已知方程$2x^{2}-7x + 3 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的两个实数根分别为3,-2，求一元二次方程$ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0$的两根.（直接写出结果）
(1)已知方程$x^{2}+x - 2 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的相反数. 解：设所求方程的根为$y$，则所求方程为_______.
(2)已知方程$2x^{2}-7x + 3 = 0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）的两个实数根分别为3,-2，求一元二次方程$ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0$的两根.（直接写出结果）
答案：
解：
(1)$y^{2}-y - 2 = 0$.
(2)设所求方程的根是$y$，则$y=\frac{1}{x}$，所以$x=\frac{1}{y}$.把$x=\frac{1}{y}$代入方程$2x^{2}-7x + 3 = 0$，得$2(\frac{1}{y})^{2}-7\cdot\frac{1}{y}+3 = 0$.化简，得$3y^{2}-7y + 2 = 0$.
(3)$y_{1}=4$，$y_{2}=-1$.提示：将一元二次方程$ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0$整理，得$a(y - 1)^{2}+b(y - 1)+c = 0$. 令$y - 1 = x$，
∴$y = x + 1$，
∴方程$a(y - 1)^{2}+b(y - 1)+c = 0$的两根分别比$ax^{2}+bx + c = 0$的两根大1，
∴方程$ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0$的两根分别是4，-1.
(1)$y^{2}-y - 2 = 0$.
(2)设所求方程的根是$y$，则$y=\frac{1}{x}$，所以$x=\frac{1}{y}$.把$x=\frac{1}{y}$代入方程$2x^{2}-7x + 3 = 0$，得$2(\frac{1}{y})^{2}-7\cdot\frac{1}{y}+3 = 0$.化简，得$3y^{2}-7y + 2 = 0$.
(3)$y_{1}=4$，$y_{2}=-1$.提示：将一元二次方程$ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0$整理，得$a(y - 1)^{2}+b(y - 1)+c = 0$. 令$y - 1 = x$，
∴$y = x + 1$，
∴方程$a(y - 1)^{2}+b(y - 1)+c = 0$的两根分别比$ax^{2}+bx + c = 0$的两根大1，
∴方程$ay^{2}-(2a - b)y + a - b + c = 0$的两根分别是4，-1.
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