《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

1 [2024·浙江绍兴期中]若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^{2}+x - 3 = 0$的两个实数根，则$2024 - x_1 - x_2$的值为（ ）
A. 2025
B. 2023
C. 2024
D. 2023

答案： A

2 [2024·福建南平月考]已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^{2}-6x + 3 = 0$的两个实数根，则$x_1x_2$的值为（ ）
A. 6
B. -6
C. -3
D. 3

答案： D

3 [2023·浙江宁波鄞州期末]以方程$x^{2}+2x - 3 = 0$的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
A. $y^{2}+5y - 6 = 0$
B. $y^{2}+5y + 6 = 0$
C. $y^{2}-5y + 6 = 0$
D. $y^{2}-5y - 6 = 0$

答案： B

4 已知关于$x$的方程$x^{2}+mx + n = 0$的两个根分别为-3和2，则$m + n$的值为_______.

答案： -5

5 [2023·浙江杭州上城期末]若$x_1,x_2$是方程$2x^{2}-6x + 3 = 0$的两个根，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值为（ ）
A. 2
B. -2
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{9}{2}$

答案： A

6 [2022·浙江嘉兴期末]已知1和2是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两根，则关于$x$的方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+c = 0$的根为（ ）
A. 0和1
B. 1和2
C. 2和3
D. 0和3

答案： A

7 已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^{2}-2x - m^{2}=0$的两根，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. $x_1 + x_2＞0$
B. $x_1x_2＜0$
C. $x_1\neq x_2$
D. 方程必有一正根

答案： B

8 关于$x$的一元二次方程$2x^{2}-2x + 3m - 1 = 0$有两个实数根$x_1,x_2$，且$x_1x_2＞x_1 + x_2 - 4$，则$m$的取值范围是_______.

答案： $-\frac{5}{3}＜m\leqslant\frac{1}{2}$

9 若$x_1,x_2$是$x^{2}+bx - 3b = 0$的两个根，且$x_1^{2}+x_2^{2}=7$，则$b$的值是_______.

答案： 1

10 设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^{2}-3x + k = 0$的两个根，且$x_1 = 2x_2$，则$k =$_______.

答案： 2

11 [2024·浙江杭州月考]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m + 2)x + 2m = 0$.
(1)求证：不论$m$为何值，该方程总有两个实数根.
(2)若该方程的两个实数根$x_1,x_2$满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1)=14$，求$m$的值.

答案：
(1)证明：由题意，得$b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4×2m=(m - 2)^{2}\geqslant0$，
∴不论$m$为何值，该方程总有两个实数根.
(2)解：根据题意，得$x_{1}+x_{2}=m + 2$，$x_{1}x_{2}=2m$.
∵$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=14$，
∴$x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})=13$，
∴$2m - m - 2=13$，解得$m = 15$.

12 [2024·江苏南京二模]关于$x$的方程$x^{2}+kx = 2$（$k$为常数）的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 两个正根
B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根
D. 无实数根

答案： C

13 [2024·浙江衢州期末]$\triangle ABC$的一边为5，另外两边的长恰好是方程$2x^{2}-12x + m = 0$的两个根，则$m$的取值范围是_______.

答案： $\frac{11}{2}＜m\leqslant18$ 解析：由根与系数的关系可得$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=\frac{m}{2}$. 又由三角形的三边关系可得$|x_{1}-x_{2}|＜5$，
∴$(x_{1}-x_{2})^{2}＜25$，即$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}＜25$，解得$m＞\frac{11}{2}$.
∵方程有两个实根，
∴$(-12)^{2}-4×2m\geqslant0$，解得$m\leqslant18$.
∴$\frac{11}{2}＜m\leqslant18$.