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11 [2024·河北邢台月考]小明根据方差公式$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(3-3)^{2}+(6-3)^{2}]$分析和计算得出了四个结论,其中不正确的是 （ ）
A. $x_{1}=1$
B. 众数是3
C. $n=5$
D. $S^{2}=2.4$
A. $x_{1}=1$
B. 众数是3
C. $n=5$
D. $S^{2}=2.4$
答案：
11. D 解析 由方差公式，得$n = 5$，且五个数据为$x_{1}$，2，3，3，6，这五个数据的平均数为 3，则$\frac{x_{1}+2 + 3 + 3 + 6}{5}=3$，得$x_{1}=1$. 将$x_{1}=1$，$n = 5$代入方差公式，得$S^{2}=\frac{1}{5}\times[(1 - 3)^2+(2 - 3)^2+(3 - 3)^2+(3 - 3)^2+(6 - 3)^2]=2.8$. 故选 D.
12 已知一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的平均数为3,方差为3,把每个数据都乘3,再减去2,得到一组新的数据$3x_{1}-2,3x_{2}-2,\cdots,3x_{n}-2$,则这组新数据的平均数为_______,方差为_______.
答案：
12. 7 27 解析 由题意得$\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=3$，$\frac{(x_{1}-3)^2+(x_{2}-3)^2+\cdots+(x_{n}-3)^2}{n}=3$，所以这组新数据的平均数为$\frac{(3x_{1}-2)+(3x_{2}-2)+\cdots+(3x_{n}-2)}{n}=\frac{3(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})}{n}-\frac{2n}{n}=9 - 2 = 7$，方差为$\frac{(3x_{1}-2 - 7)^2+(3x_{2}-2 - 7)^2+\cdots+(3x_{n}-2 - 7)^2}{n}=\frac{9\times[(x_{1}-3)^2+(x_{2}-3)^2+\cdots+(x_{n}-3)^2]}{n}=27$.
13 [2024·甘肃兰州月考]数据2,x,4,2,8,5的平均数为6,则这组数据的方差为_______.
答案：
13. $\frac{61}{3}$ 解析 根据题意得$2 + x + 4 + 2 + 8 + 5 = 6\times6$，解得$x = 15$，所以这组数据的方差为$\frac{1}{6}\times[(2 - 6)^2+(15 - 6)^2+(4 - 6)^2+(2 - 6)^2+(8 - 6)^2+(5 - 6)^2]=\frac{61}{3}$.
14 [2023·浙江温州期中]某中学开展校艺术节歌咏比赛,八年级甲、乙两班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,复赛成绩(满分100分)如下表:
(1)求表中a,b的值.
(2)已知乙班复赛成绩的方差为160分²,请计算甲班复赛成绩的方差.如果规定成绩较稳定的班胜出,你认为哪个班能胜出?请说明理由.
(1)求表中a,b的值.
(2)已知乙班复赛成绩的方差为160分²,请计算甲班复赛成绩的方差.如果规定成绩较稳定的班胜出,你认为哪个班能胜出?请说明理由.
答案：
14. 解
(1)甲班成绩的平均数$a=\frac{75 + 80 + 85 + 85 + 100}{5}=85$，
将乙班成绩按从小到大的顺序排列为 70，75，80，100，100，
$\therefore$ 乙班成绩的中位数$b = 80$.
(2)甲班能胜出. 理由如下：
甲班成绩的方差为$\frac{1}{5}\times[(75 - 85)^2+(80 - 85)^2+2\times(85 - 85)^2+(100 - 85)^2]=70$(分$^{2}$).
$\because 70＜160$，$\therefore$ 甲班成绩较稳定，$\therefore$ 甲班能胜出.
(1)甲班成绩的平均数$a=\frac{75 + 80 + 85 + 85 + 100}{5}=85$，
将乙班成绩按从小到大的顺序排列为 70，75，80，100，100，
$\therefore$ 乙班成绩的中位数$b = 80$.
(2)甲班能胜出. 理由如下：
甲班成绩的方差为$\frac{1}{5}\times[(75 - 85)^2+(80 - 85)^2+2\times(85 - 85)^2+(100 - 85)^2]=70$(分$^{2}$).
$\because 70＜160$，$\therefore$ 甲班成绩较稳定，$\therefore$ 甲班能胜出.
15 (1)若一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的方差是9,则数据$x_{1}-5,x_{2}-5,\cdots,x_{n}-5$的方差是多少?
(2)若一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的方差为$S^{2}(S＞0)$,将这组数据中的每个数乘9,则所得到的一组新数据的标准差是多少?
(3)若一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的方差为$S^{2}(S＞0)$,将这组数据中的每个数乘a,再加上b,则得到的一组新数据的方差是多少?标准差是多少?
(2)若一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的方差为$S^{2}(S＞0)$,将这组数据中的每个数乘9,则所得到的一组新数据的标准差是多少?
(3)若一组数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$的方差为$S^{2}(S＞0)$,将这组数据中的每个数乘a,再加上b,则得到的一组新数据的方差是多少?标准差是多少?
答案：
15. 解
(1)设$x_{1}$，$x_{2}$，$\cdots$，$x_{n}$的平均数为$\overline{x}$，
则$x_{1}-5$，$x_{2}-5$，$\cdots$，$x_{n}-5$的平均数为$\overline{x}-5$.
因为$\frac{1}{n}\times[(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^2]=9$，
所以$x_{1}-5$，$x_{2}-5$，$\cdots$，$x_{n}-5$的方差为$\frac{1}{n}\times\{[(x_{1}-5)-(\overline{x}-5)]^2+[(x_{2}-5)-(\overline{x}-5)]^2+\cdots+[(x_{n}-5)-(\overline{x}-5)]^2\}=\frac{1}{n}\times[(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^2]=9$.
(2)设这组数据的平均数为$a$，则将每个数据乘 9 后得到的新数据为$9x_{1}$，$9x_{2}$，$9x_{3}$，$\cdots$，$9x_{n}$，其平均数为$9a$，
所以方差为$\frac{1}{n}\times[(9x_{1}-9a)^2+(9x_{2}-9a)^2+\cdots+(9x_{n}-9a)^2]=\frac{1}{n}\times81\times[(x_{1}-a)^2+(x_{2}-a)^2+\cdots+(x_{n}-a)^2]=81S^{2}$，
所以新数据的标准差为$\sqrt{81S^{2}}=9S$.
(3)由
(2)的结论可知这组数据中的每个数乘$a$得到的一组新数据的方差为$a^{2}S^{2}$，
再根据
(1)的结论可知将数据$ax_{1}$，$ax_{2}$，$ax_{3}$，$\cdots$，$ax_{n}$中的每一个数都加上$b$以后得到的新数据的方差仍为$a^{2}S^{2}$，
所以最后得到的新数据的标准差为$\sqrt{a^{2}S^{2}}=\vert a\vert S$.
(1)设$x_{1}$，$x_{2}$，$\cdots$，$x_{n}$的平均数为$\overline{x}$，
则$x_{1}-5$，$x_{2}-5$，$\cdots$，$x_{n}-5$的平均数为$\overline{x}-5$.
因为$\frac{1}{n}\times[(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^2]=9$，
所以$x_{1}-5$，$x_{2}-5$，$\cdots$，$x_{n}-5$的方差为$\frac{1}{n}\times\{[(x_{1}-5)-(\overline{x}-5)]^2+[(x_{2}-5)-(\overline{x}-5)]^2+\cdots+[(x_{n}-5)-(\overline{x}-5)]^2\}=\frac{1}{n}\times[(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^2]=9$.
(2)设这组数据的平均数为$a$，则将每个数据乘 9 后得到的新数据为$9x_{1}$，$9x_{2}$，$9x_{3}$，$\cdots$，$9x_{n}$，其平均数为$9a$，
所以方差为$\frac{1}{n}\times[(9x_{1}-9a)^2+(9x_{2}-9a)^2+\cdots+(9x_{n}-9a)^2]=\frac{1}{n}\times81\times[(x_{1}-a)^2+(x_{2}-a)^2+\cdots+(x_{n}-a)^2]=81S^{2}$，
所以新数据的标准差为$\sqrt{81S^{2}}=9S$.
(3)由
(2)的结论可知这组数据中的每个数乘$a$得到的一组新数据的方差为$a^{2}S^{2}$，
再根据
(1)的结论可知将数据$ax_{1}$，$ax_{2}$，$ax_{3}$，$\cdots$，$ax_{n}$中的每一个数都加上$b$以后得到的新数据的方差仍为$a^{2}S^{2}$，
所以最后得到的新数据的标准差为$\sqrt{a^{2}S^{2}}=\vert a\vert S$.
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