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18 [2024·浙江杭州月考]如图,一个长方形被分割成四部分,其中图形①②③都是正方形,且正方形①③的面积分别为24和3.
(1)求图形②的边长;
(2)求图中阴影部分的面积.
(1)求图形②的边长;
(2)求图中阴影部分的面积.
答案：
解：
(1)$\because$正方形①的边长是$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
正方形③的边长是$\sqrt{3}$，
$\therefore$正方形②的边长是$2\sqrt{6}-\sqrt{3}$.
(2)阴影部分图形的宽是$\sqrt{3}$，长是$2\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{6}-2\sqrt{3}$，
则图中阴影部分的面积是$(2\sqrt{6}-2\sqrt{3})\times\sqrt{3}=6\sqrt{2}-6$.
(1)$\because$正方形①的边长是$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
正方形③的边长是$\sqrt{3}$，
$\therefore$正方形②的边长是$2\sqrt{6}-\sqrt{3}$.
(2)阴影部分图形的宽是$\sqrt{3}$，长是$2\sqrt{6}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{6}-2\sqrt{3}$，
则图中阴影部分的面积是$(2\sqrt{6}-2\sqrt{3})\times\sqrt{3}=6\sqrt{2}-6$.
19 设a,b为实数,且$|\sqrt{2}-a|+\sqrt{b - 2}=0$.
(1)求$a^{2}-2\sqrt{2}a + 2 + b^{2}$;
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边长,求这个等腰三角形的面积.
(1)求$a^{2}-2\sqrt{2}a + 2 + b^{2}$;
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边长,求这个等腰三角形的面积.
答案：
解：
(1)$\because |\sqrt{2}-a|+\sqrt{b - 2}=0$，
$\therefore \sqrt{2}-a=0$，$b - 2=0$，
解得$a=\sqrt{2}$，$b = 2$，
$\therefore a^{2}-2\sqrt{2}a + 2+b^{2}=(a-\sqrt{2})^{2}+b^{2}=(\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+2^{2}=4$.
(2)若$a$为腰长，$b$为底边长，
则此时底边上的高为$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=1$，
$\therefore$三角形的面积为$\frac{1}{2}\times2\times1=1$.
若$a$为底边长，$b$为腰长，
则此时底边上的高为$\sqrt{2^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore$三角形的面积为$\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$.
(1)$\because |\sqrt{2}-a|+\sqrt{b - 2}=0$，
$\therefore \sqrt{2}-a=0$，$b - 2=0$，
解得$a=\sqrt{2}$，$b = 2$，
$\therefore a^{2}-2\sqrt{2}a + 2+b^{2}=(a-\sqrt{2})^{2}+b^{2}=(\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+2^{2}=4$.
(2)若$a$为腰长，$b$为底边长，
则此时底边上的高为$\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=1$，
$\therefore$三角形的面积为$\frac{1}{2}\times2\times1=1$.
若$a$为底边长，$b$为腰长，
则此时底边上的高为$\sqrt{2^{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$，
$\therefore$三角形的面积为$\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$.
20 新题型 阅读理解题 请阅读下列材料.
问题:已知$x=\sqrt{5}+2$,求代数式$x^{2}-4x - 7$的值.
小明的做法是根据$x=\sqrt{5}+2$,得$(x - 2)^{2}=5$,
$\therefore x^{2}-4x + 4 = 5,\therefore x^{2}-4x = 1$. 把$x^{2}-4x$作为整体代入,得$x^{2}-4x - 7 = 1 - 7 = -6$,即把已知条件进行适当变形,再整体代入解答问题.
仿照上述方法解答问题:
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$,求代数式$x^{2}+6x - 8$的值;
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^{3}+2x^{2}$的值.
问题:已知$x=\sqrt{5}+2$,求代数式$x^{2}-4x - 7$的值.
小明的做法是根据$x=\sqrt{5}+2$,得$(x - 2)^{2}=5$,
$\therefore x^{2}-4x + 4 = 5,\therefore x^{2}-4x = 1$. 把$x^{2}-4x$作为整体代入,得$x^{2}-4x - 7 = 1 - 7 = -6$,即把已知条件进行适当变形,再整体代入解答问题.
仿照上述方法解答问题:
(1)已知$x=\sqrt{10}-3$,求代数式$x^{2}+6x - 8$的值;
(2)已知$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,求代数式$x^{3}+2x^{2}$的值.
答案：
解：
(1)$\because x=\sqrt{10}-3$，$\therefore (x + 3)^{2}=10$，即$x^{2}+6x + 9=10$，
$\therefore x^{2}+6x=1$，$\therefore x^{2}+6x - 8=1-8=-7$.
(2)$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore 2x=\sqrt{5}-1$，
$\therefore (2x + 1)^{2}=5$，即$4x^{2}+4x + 1=5$，
$\therefore 4x^{2}+4x=4$，即$x^{2}+x=1$，
$\therefore x^{3}+2x^{2}=x^{3}+x^{2}+x^{2}=x(x^{2}+x)+x^{2}=x\times1+x^{2}=x+x^{2}=1$.
(1)$\because x=\sqrt{10}-3$，$\therefore (x + 3)^{2}=10$，即$x^{2}+6x + 9=10$，
$\therefore x^{2}+6x=1$，$\therefore x^{2}+6x - 8=1-8=-7$.
(2)$\because x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\therefore 2x=\sqrt{5}-1$，
$\therefore (2x + 1)^{2}=5$，即$4x^{2}+4x + 1=5$，
$\therefore 4x^{2}+4x=4$，即$x^{2}+x=1$，
$\therefore x^{3}+2x^{2}=x^{3}+x^{2}+x^{2}=x(x^{2}+x)+x^{2}=x\times1+x^{2}=x+x^{2}=1$.
21 已知实数x,y,a,b满足$\sqrt{3x - y - 7}+\sqrt{x - 2y - 4}=\sqrt{a + b - 2022}\times\sqrt{2022 - a - b}$. 求a + b的值及$7x - y^{2023}$的值.
答案：
解：$\because a + b-2022\geqslant0$，$2022-a - b\geqslant0$，
$\therefore a + b=2022$.
$\because \sqrt{3x-y-7}+\sqrt{x - 2y-4}=\sqrt{a + b-2022}\times\sqrt{2022-a - b}$，
$\therefore \sqrt{3x-y-7}+\sqrt{x - 2y-4}=0$，
$\therefore \begin{cases}3x-y-7=0,①\\x - 2y-4=0.②\end{cases}$
①$\times2$，得$6x-2y-14=0$.③
③$-$②，得$5x-10=0$，解得$x = 2$.
将$x = 2$代入①，得$6-y-7=0$，解得$y=-1$.
将$x = 2$，$y=-1$代入$7x-y^{2023}$，
得$7\times2-(-1)^{2023}=14-(-1)=14 + 1=15$.
$\therefore 7x-y^{2023}=15$.
$\therefore a + b=2022$.
$\because \sqrt{3x-y-7}+\sqrt{x - 2y-4}=\sqrt{a + b-2022}\times\sqrt{2022-a - b}$，
$\therefore \sqrt{3x-y-7}+\sqrt{x - 2y-4}=0$，
$\therefore \begin{cases}3x-y-7=0,①\\x - 2y-4=0.②\end{cases}$
①$\times2$，得$6x-2y-14=0$.③
③$-$②，得$5x-10=0$，解得$x = 2$.
将$x = 2$代入①，得$6-y-7=0$，解得$y=-1$.
将$x = 2$，$y=-1$代入$7x-y^{2023}$，
得$7\times2-(-1)^{2023}=14-(-1)=14 + 1=15$.
$\therefore 7x-y^{2023}=15$.
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