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10 [2023·浙江温州期中]在平面直角坐标系中有A,B,C三个点,点B的坐标是(2,3),点A,点C关于点B中心对称,若将点A先向右平移4个单位长度,再向上平移10个单位长度后能与点C重合,则点A的坐标是________.
答案：
(0，- 2) 解析：设A，C关于原点O中心对称，则令A(x，y)，则C为(- x，- y).
∵将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移10个单位长度后能与点C重合，
∴x + 4 = - x，y + 10 = - y，解得x = - 2，y = - 5. 把中心点O平移到点B的位置，其平移方法可以为先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点A的坐标也随之变动，
∴点A的坐标变为(- 2 + 2，- 5 + 3)，即A(0，- 2).
∵将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移10个单位长度后能与点C重合，
∴x + 4 = - x，y + 10 = - y，解得x = - 2，y = - 5. 把中心点O平移到点B的位置，其平移方法可以为先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴点A的坐标也随之变动，
∴点A的坐标变为(- 2 + 2，- 5 + 3)，即A(0，- 2).
11 [2024·浙江丽水期末]在平面直角坐标系中,点A(1,a)和点B(b, - 5)关于原点成中心对称,则a - b的值为 （ ）
A.-4 B.4 C.-6 D.6
A.-4 B.4 C.-6 D.6
答案：
D 解析：
∵点A(1，a)和点B(b，- 5)关于原点成中心对称，
∴a = 5，b = - 1，
∴a - b = 5 - (- 1) = 6. 故选D.
∵点A(1，a)和点B(b，- 5)关于原点成中心对称，
∴a = 5，b = - 1，
∴a - b = 5 - (- 1) = 6. 故选D.
12 如图,点O是▱ABCD的对称中心,AD＞AB,E,F是AB边上的点,且EF = $\frac{1}{2}$AB,G,H是BC边上的点,且GH = $\frac{1}{3}$BC.若S₁,S₂分别表示△EOF和△GOH的面积,则S₁与S₂之间的等量关系是________.
答案：
$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{3}{2}$ 解析：连接AO，BO，CO.
∵$\frac{S_{1}}{S_{\triangle AOB}}$ = $\frac{EF}{AB}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{S_{2}}{S_{\triangle BOC}}$ = $\frac{GH}{BC}$ = $\frac{1}{3}$，
∴S₁ = $\frac{1}{2}$S_{\triangle AOB}，S₂ = $\frac{1}{3}$S_{\triangle BOC}.
∵点O是□ABCD的对称中心，
∴S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} = $\frac{1}{4}$S_{□ABCD}，
∴$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}$ = $\frac{3}{2}$. 即S₁与S₂之间的等量关系是$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{3}{2}$.
∵$\frac{S_{1}}{S_{\triangle AOB}}$ = $\frac{EF}{AB}$ = $\frac{1}{2}$，$\frac{S_{2}}{S_{\triangle BOC}}$ = $\frac{GH}{BC}$ = $\frac{1}{3}$，
∴S₁ = $\frac{1}{2}$S_{\triangle AOB}，S₂ = $\frac{1}{3}$S_{\triangle BOC}.
∵点O是□ABCD的对称中心，
∴S_{\triangle AOB} = S_{\triangle BOC} = $\frac{1}{4}$S_{□ABCD}，
∴$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}$ = $\frac{3}{2}$. 即S₁与S₂之间的等量关系是$\frac{S_{1}}{S_{2}}$ = $\frac{3}{2}$.
13 在平面直角坐标系中,已知A(3,2),作点A关于y轴的对称点A₁,点A₁关于原点的对称点A₂,点A₂关于x轴的对称点A₃,点A₃关于y轴的对称点A₄……按此规律,则点A₂₀₂₄的坐标为________.
答案：
(3，- 2) 解析：作点A(3，2)关于y轴的对称点A₁，则点A₁的坐标为(- 3，2)；作点A₁关于原点的对称点A₂，则点A₂的坐标为(3，- 2)；作点A₂关于x轴的对称点A₃，则点A₃的坐标为(3，2). 显然此为一个循环，按此规律，2024÷3 = 674……2，则点A₂₀₂₄的坐标是(3，- 2).
14 [2024·浙江杭州期中]（1）如图（1）,四边形ABCD是中心对称图形,直线EF经过对称中心O,则S四边形AEFB________S四边形DEFC（填“＞”“＜”“=”）;
（2）如图（2）,正方形是中心对称图形,两个正方形如图摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分.
（2）如图（2）,正方形是中心对称图形,两个正方形如图摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分.
答案：
解：
(1)=.
(2)如答图，直线OQ即为所求.
解：
(1)=.
(2)如答图，直线OQ即为所求.
15 新题型 阅读理解题 阅读理解:我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)的对称中心的坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$.
观察应用:
（1）如图,在平面直角坐标系中,若点P₁(0, - 1),P₂(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为________;
（2）另取两点B(-1.6,2.1),C(-1,0).有一电子青蛙从点P₁处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第一次跳到点P₁关于点A的对称点P₂处,接着跳到点P₂关于点B的对称点P₃处,第三次再跳到点P₃关于点C的对称点P₄处,第四次再跳到点P₄关于点A的对称点P₅处……则点P₃,P₈的坐标分别为________,________.
拓展延伸:
（3）求出点P₂₀₁₇的坐标,并求出在x轴上与点P₂₀₁₇,点C构成等腰三角形的点的坐标.
观察应用:
（1）如图,在平面直角坐标系中,若点P₁(0, - 1),P₂(2,3)的对称中心是点A,则点A的坐标为________;
（2）另取两点B(-1.6,2.1),C(-1,0).有一电子青蛙从点P₁处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第一次跳到点P₁关于点A的对称点P₂处,接着跳到点P₂关于点B的对称点P₃处,第三次再跳到点P₃关于点C的对称点P₄处,第四次再跳到点P₄关于点A的对称点P₅处……则点P₃,P₈的坐标分别为________,________.
拓展延伸:
（3）求出点P₂₀₁₇的坐标,并求出在x轴上与点P₂₀₁₇,点C构成等腰三角形的点的坐标.
答案：
解：
(1)(1，1).
(2)(- 5.2，1.2) (2，3).
提示：
∵B(- 1.6，2.1)，P₂(2，3)，
∴点P₃的横坐标为- 1.6×2 - 2 = - 5.2，纵坐标为2.1×2 - 3 = 1.2，即P₃(- 5.2，1.2).
∵C(- 1，0)，
∴点P₄的横坐标为- 1×2 - (- 5.2) = 3.2，纵坐标为0×2 - 1.2 = - 1.2，即P₄(3.2，- 1.2). 同理，得P₅(- 1.2，3.2)，P₆(- 2，1)，P₇(0，- 1)，P₈(2，3)，即点P₃，P₈的坐标分别为(- 5.2，1.2)，(2，3).
(3)
∵P₁(0，- 1)→P₂(2，3)→P₃(- 5.2，1.2)→P₄(3.2，- 1.2)→P₅(- 1.2，3.2)→P₆(- 2，1)→P₇(0，- 1)→P₈(2，3)，
∴P₇的坐标和P₁的坐标相同，P₈的坐标和P₂的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环.
∵2017÷6 = 336……1，
∴P₂₀₁₇的坐标与P₁的坐标相同，即P₂₀₁₇(0，- 1)，
∴CP₂₀₁₇ = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$.
设x轴上与点P₂₀₁₇，点C构成等腰三角形的点为点D，
当CP₂₀₁₇ = CD = $\sqrt{2}$时，点D的坐标为(- 1 - $\sqrt{2}$，0)或($\sqrt{2}$ - 1，0)；
当CP₂₀₁₇ = P₂₀₁₇D时，
∵P₂₀₁₇O⊥CD，
∴OD = OC = 1，点D的坐标为(1，0)；
当P₂₀₁₇D = CD时，点D在CP₂₀₁₇的垂直平分线上，
∴点D与原点重合，点D的坐标为(0，0).
综上所述，在x轴上与点P₂₀₁₇，点C构成等腰三角形的点的坐标为(- 1 - $\sqrt{2}$，0)或($\sqrt{2}$ - 1，0)或(1，0)或(0，0).
(1)(1，1).
(2)(- 5.2，1.2) (2，3).
提示：
∵B(- 1.6，2.1)，P₂(2，3)，
∴点P₃的横坐标为- 1.6×2 - 2 = - 5.2，纵坐标为2.1×2 - 3 = 1.2，即P₃(- 5.2，1.2).
∵C(- 1，0)，
∴点P₄的横坐标为- 1×2 - (- 5.2) = 3.2，纵坐标为0×2 - 1.2 = - 1.2，即P₄(3.2，- 1.2). 同理，得P₅(- 1.2，3.2)，P₆(- 2，1)，P₇(0，- 1)，P₈(2，3)，即点P₃，P₈的坐标分别为(- 5.2，1.2)，(2，3).
(3)
∵P₁(0，- 1)→P₂(2，3)→P₃(- 5.2，1.2)→P₄(3.2，- 1.2)→P₅(- 1.2，3.2)→P₆(- 2，1)→P₇(0，- 1)→P₈(2，3)，
∴P₇的坐标和P₁的坐标相同，P₈的坐标和P₂的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环.
∵2017÷6 = 336……1，
∴P₂₀₁₇的坐标与P₁的坐标相同，即P₂₀₁₇(0，- 1)，
∴CP₂₀₁₇ = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$.
设x轴上与点P₂₀₁₇，点C构成等腰三角形的点为点D，
当CP₂₀₁₇ = CD = $\sqrt{2}$时，点D的坐标为(- 1 - $\sqrt{2}$，0)或($\sqrt{2}$ - 1，0)；
当CP₂₀₁₇ = P₂₀₁₇D时，
∵P₂₀₁₇O⊥CD，
∴OD = OC = 1，点D的坐标为(1，0)；
当P₂₀₁₇D = CD时，点D在CP₂₀₁₇的垂直平分线上，
∴点D与原点重合，点D的坐标为(0，0).
综上所述，在x轴上与点P₂₀₁₇，点C构成等腰三角形的点的坐标为(- 1 - $\sqrt{2}$，0)或($\sqrt{2}$ - 1，0)或(1，0)或(0，0).
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