《2025年少年班八年级数学下册浙教版》

5【例】解方程$(x - 1)^{2}-5(x - 1)+4=0$.
解：设$x - 1=y$，则原方程可化为$y^{2}-5y + 4=0$，
解得$y_{1}=1,y_{2}=4$.
当$y = 1$时，$x - 1=1$，解得$x = 2$；
当$y = 4$时，$x - 1=4$，解得$x = 5$.
所以原方程的解为$x_{1}=2,x_{2}=5$.
上述解法称为“整体换元法”.
请运用“整体换元法”解方程：$(2x - 5)^{2}-(2x - 5)-2=0$.

答案： 解：设$y = 2x - 5$，则原方程可化为$y^{2}-y - 2=0$，
∴$(y - 2)(y + 1)=0$，
∴$y - 2=0$，或$y + 1=0$，
解得$y_{1}=2,y_{2}=-1$.
当$y = 2$时，$2x - 5=2$，解得$x = 3.5$.
当$y=-1$时，$2x - 5=-1$，解得$x = 2$.
∴原方程的解为$x_{1}=3.5,x_{2}=2$.

【变式1】[2023·浙江宁波镇海期末]若实数$x$满足$2(x^{2}-x)^{2}-x^{2}+x - 6=0$，则$x^{2}-x + 1=$_______.

答案： 3

【变式2】[2023·浙江宁波鄞州期中]我们知道方程$x^{2}+2x - 3=0$的解是$x_{1}=1,x_{2}=-3$，现给出另一个方程$(2x + 3)^{2}+2(2x + 3)-3=0$，它的解是_______.

答案： $x_{1}=-1,x_{2}=-3$

6 [2024·山东德州月考]用适当的方法解下列方程：
(1)$y(y - 1)=2 - 2y$；
(2)$5x^{2}-8x=-5$；
(3)$(x + 2)^{2}-8(x + 2)+15=0$.

答案： 解：
(1)$y_{1}=1,y_{2}=-2$.
(2)方程没有实数根.
(3)$x_{1}=1,x_{2}=3$.

7 阅读下面的例题：
解方程$x^{2}-\vert x\vert-2=0$.
解：分两种情况讨论：
①当$x\geqslant0$时，原方程为$x^{2}-x - 2=0$，
解得$x = 2$或$x=-1$(不符合题意，舍去)；
②当$x＜0$时，原方程为$x^{2}+x - 2=0$，
解得$x=-2$或$x = 1$(不符合题意，舍去).
综上所述，原方程的根是$x_{1}=2,x_{2}=-2$.
请参照例题解方程：
(1)$x^{2}-\vert x\vert-6=0$；
(2)$x^{2}-\vert x - 1\vert-1=0$.

答案： 解：
(1)①当$x\geq0$时，原方程为$x^{2}-x - 6=0$，
解得$x = 3$或$x=-2$(不符合题意，舍去)；
②当$x＜0$时，原方程为$x^{2}+x - 6=0$，
解得$x=-3$或$x = 2$(不符合题意，舍去).
综上所述，原方程的根是$x_{1}=3,x_{2}=-3$.
(2)①当$x\geq1$时，原方程为$x^{2}-x=0$，
解得$x = 1$或$x = 0$(不符合题意，舍去)；
②当$x＜1$时，原方程为$x^{2}+x - 2=0$，
解得$x=-2$或$x = 1$(不符合题意，舍去).
综上所述，原方程的根是$x_{1}=1,x_{2}=-2$.