《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

8[2024江苏盐城三模]如图，直线$y = \frac{1}{2}x - 1$与x轴交于点B，与双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$交于点C，且$AB = AC$，则k的值为________.

答案： 4【解析】
∵直线$y = \frac{1}{2}x - 1$与$x$轴交于点$B$，
∴令$y = 0$，解得$x = 2$，
∴点$B$的坐标为$(2,0)$。
又
∵过点$B$作$x$轴的垂线，与双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$交于点$C$，
∴点$C$的坐标为$(2,\frac{k}{2})$。
∵$AB = AC$，
∴点$A$在线段$BC$的垂直平分线上，
∴点$A$的纵坐标为$\frac{k}{4}$。
∵点$A$在双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$上，
∴$\frac{k}{4} = \frac{k}{x}$，
∴$x = 4$，
∴$A(4,\frac{k}{4})$。又
∵点$A(4,\frac{k}{4})$在直线$y = \frac{1}{2}x - 1$上，
∴$\frac{k}{4} = \frac{1}{2}×4 - 1$，解得$k = 4$。故答案为 4。

9[2023江苏苏州姑苏区期中]如图，在平面直角坐标系中，Rt$\triangle OAB$的一条边OA在y轴上，$OA = 4$，$AB = 3$，$\angle OAB = 90^{\circ}$. 将$\triangle OAB$向右平移，某一时刻，反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图像恰好经过点A和OB的中点C，则平移的长度是________.

答案： $\frac{3}{2}$【解析】
∵$Rt\triangle OAB$的一条边$OA$在$y$轴上，$OA = 4$，$AB = 3$，
∴$A(0,4)$，$B(3,4)$，
∴$OB$的中点$C(\frac{3}{2},2)$。设$\triangle OAB$向右平移$a$个单位长度，则平移后的点$A(a,4)$，$C(\frac{3}{2} + a,2)$。
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)$的图像恰好经过平移后的点$A(a,4)$，$C(\frac{3}{2} + a,2)$，
∴$k = 4a = 2(\frac{3}{2} + a)$，解得$a = \frac{3}{2}$，
∴平移的长度是$\frac{3}{2}$。故答案为$\frac{3}{2}$。

10[2023江苏无锡期中]如图，已知一次函数$y = mx + n$的图像与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像交于A$(3,a)$，B$(14 - 2a,2)$两点，点C是x轴上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形ACBD是以AB为对角线的菱形，则点C的坐标为________.

答案：
$(\frac{5}{2},0)$【解析】
∵点$A(3,a)$，点$B(14 - 2a,2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像上，
∴$3×a = (14 - 2a)×2$，解得$a = 4$，
∴$A(3,4)$，$B(6,2)$。过点$A$作$AE \perp x$轴于点$E$，过点$B$作$BF \perp x$轴于点$F$，如图，则$AE = 4$，$BF = 2$。
∵点$C$在$x$轴上，
∴设点$C$的坐标为$(x,0)$，
∴$OC = x$，
∴$CE = 3 - x$，$CF = 6 - x$。由勾股定理得，$AE^2 + CE^2 = AC^2$，$BF^2 + CF^2 = BC^2$。又
∵四边形$ACBD$是菱形，
∴$AC = CB$，
∴$AE^2 + CE^2 = BF^2 + CF^2$，即$4^2 + (3 - x)^2 = 2^2 + (6 - x)^2$，解得$x = \frac{5}{2}$，
∴点$C$的坐标为$(\frac{5}{2},0)$。

11[2024浙江杭州拱墅区二模]小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当$0 \leq x \leq 10$时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后立即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水温约为多少？

答案： 【解】
(1)当$0 \leq x \leq 10$时，设水温$y(^{\circ}C)$与开机时间$x$(分)的函数关系式为$y = kx + b$。依据题意，得$\begin{cases}b = 20 \\ 10k + b = 100\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 8 \\ b = 20\end{cases}$，
∴此函数关系式为$y = 8x + 20$。
(2)当$10 ＜ x \leq t$时，设水温$y(^{\circ}C)$与开机时间$x$(分)的函数关系式为$y = \frac{m}{x}$。依据题意，得$100 = \frac{m}{10}$，
∴$m = 1000$，故$y = \frac{1000}{x}$。
当$y = 20$时，$20 = \frac{1000}{t}$，解得$t = 50$。
(3)
∵$70 - 50 = 20 ＞ 10$，
∴当$x = 20$时，$y = \frac{1000}{20} = 50$。
答：小丽散步 70 分钟回到家时，饮水机内的水温约为$50^{\circ}C$。

12[2023四川巴中中考]如图，正比例函数$y = kx$（$k \neq 0$）与反比例函数$y = \frac{m}{x}$（$m \neq 0$）的图像交于A，B两点，A的横坐标为-4，B的纵坐标为-6.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)观察图像，直接写出不等式$kx ＜ \frac{m}{x}$的解集.
(3)将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C，D两点，交坐标轴于点E，F，连结OD，BD，若$\triangle OBD$的面积为20，求直线CD的表达式.

答案：
【解】
(1)
∵直线$y = kx(k \neq 0)$与双曲线$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$交于$A$，$B$两点，
∴$A$，$B$关于原点对称。
∵$x_A = -4$，$y_B = -6$，
∴$A(-4,6)$，$B(4,-6)$。
∵$A(-4,6)$在双曲线$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$上，
∴$6 = \frac{m}{-4}$，
∴$m = -24$，
∴反比例函数的表达式为$y = -\frac{24}{x}$。
(2)观察函数图像可知，当$-4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 4$时，直线$y = kx(k \neq 0)$在双曲线$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$的下方，
∴不等式$kx ＜ \frac{m}{x}$的解集为$-4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 4$。
(3)如图，连接$BE$，作$BG \perp y$轴于点$G$。设直线$CD$的表达式为$y = k'x + n$。

∵$A(-4,6)$在直线$y = kx$上，
∴$6 = -4k$，解得$k = -\frac{3}{2}$，
∴直线$AB$的表达式为$y = -\frac{3}{2}x$。
∵$CD // AB$，
∴$S_{\triangle OBD} = S_{\triangle OBE} = 20$。
∵$B(4,-6)$，
∴$BG = 4$，
∴$S_{\triangle OBE} = \frac{1}{2}OE \cdot BG = 20$，
∴$OE = 10$，
∴$E(0,10)$，
∴$n = 10$。
∵由平移可知$CD // AB$，
∴$k' = k = -\frac{3}{2}$，
∴直线$CD$的表达式为$y = -\frac{3}{2}x + 10$。