《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[2024安徽宣城模拟]如图，□ABCD的对角线交于点O，添加下列条件不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A. ∠BAC = ∠DAC B. ∠ABD = ∠CBD
C. △AOB≌△COB D. △ABD≌△CDB
　　

答案： D【解析】A选项，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB $//$ CD，
∴ $\angle ACD=\angle BAC$。
∵ $\angle BAC = \angle DAC$，
∴ $\angle ACD=\angle DAC$，
∴ AD = CD，
∴ 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；B选项，当添加$\angle ABD=\angle CBD$时，同理可证明四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；C选项，
∵ $\triangle AOB\cong\triangle COB$，
∴ AB = BC，
∴ 四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；D选项，添加$\triangle ABD\cong\triangle CDB$不能证明四边形ABCD是菱形，故D符合题意。故选D。

2[2024江苏南京质检]如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，则这个四边形是_______.
　　

答案：
菱形【解析】如图，过点D分别作DM $\perp$ BC于点M，DN $\perp$ AB于点N。
∵ AB $//$ CD，AD $//$ BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $\angle DAN=\angle DCM$。
∵ 纸条宽度相等，
∴ DN = DM。在$\triangle ADN$和$\triangle CDM$中，$\begin{cases}\angle DAN=\angle DCM\\\angle AND=\angle CMD\\DN = DM\end{cases}$，
∴ $\triangle ADN\cong\triangle CDM(AAS)$，
∴ AD = DC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。

3如图，若AB = 2 cm，四边形OACB的面积为4 cm²，则OC的长为________ cm.
　　

答案： 4【解析】根据作图可得OA = OB = BC = AC，
(1)根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD=∠B,进而得到AD//BC,再利用∠DCE=∠ACD,即可证得△ABC和△ADC是等边三角形,进而得到AD=CB=AB=CD,可判定四边形ABCD是菱形。易错警示：要判定一个图形是菱形，先看它的前提条件，若是四边形，则证明其四条边都相等，或者先证明它是平行四边形，再找一组邻边相等或对角线互相垂直；若是平行四边形，则需要找一组邻边相等或对角线互相垂直。做平行题时不能忽略菱形的判定的前提条件。
∴ 四边形OACB是菱形。
∵ AB = 2 cm，四边形OACB的面积为4 $cm^{2}$，
∴ $\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times2\times OC = 4$，解得OC = 4 cm。故答案为4。

4如图，在△ABC中，AB = AC，AD，CD分别平分△ABC的两个外角.
（1）求证：∠ACD = ∠ADC；
（2）若∠B = 60°，求证：四边形ABCD是菱形.
　　

答案： 【证明】
(1)
∵ AB = AC，
∴ $\angle B=\angle ACB$，
∴ $\angle FAC=\angle B+\angle ACB = 2\angle B$。
∵ AD平分$\angle FAC$，
∴ $\angle FAC = 2\angle FAD$，
∴ $\angle FAD=\angle B$，
∴ AD $//$ BC，
∴ $\angle ADC=\angle DCE$。
∵ CD平分$\angle ACE$，
∴ $\angle ACD=\angle DCE$，
∴ $\angle ACD=\angle ADC$。
(2)
∵ AB = AC，$\angle B = 60^{\circ}$，AD $//$ BC，
∴ $\angle ACB=\angle CAD = 60^{\circ}$。
∵ $\angle ACD=\angle ADC$，
∴ $\triangle ABC$和$\triangle ACD$都是等边三角形，
∴ AB = BC = AC = CD = AD，
∴ 四边形ABCD是菱形。

5[2023陕西咸阳秦都区二模]如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能证明□ABCD是菱形的是（ ）
A. ∠ABD = ∠ADB B. AC⊥BD
C. AB = BC D. AC = BD
　　

答案：
D【解析】

A：
∵ $\angle ABD=\angle ADB$，
∴ AB = AD，
∴ $\square ABCD$是菱形，故A不符合题意。
B：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC $\perp$ BD，
∴ $\square ABCD$是菱形，故B不符合题意。
C：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB = BC，
∴ $\square ABCD$是菱形，故C不符合题意。
D：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC = BD，
∴ $\square ABCD$是矩形，故D符合题意。

6[2024湖北武汉江汉区期中]如图，已知□ABCD，E，F是对角线BD上的两点，BE = DF，连接AE，CE，AF，CF.
（1）求证：AE = CF；
（2）连接AC交BD于O，直接写出当AC和BD满足什么关系时，四边形AECF是菱形.
　　

答案：
(1) 【证明】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB $//$ CD，
∴ $\angle ABE=\angle CDF$。又
∵ BE = DF，
∴ $\triangle ABE\cong\triangle CDF(SAS)$，
∴ AE = CF。
(2) 【解】AC $\perp$ BD时，四边形AECF是菱形。理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ BE = DF，
∴ OB - BE = OD - DF，即OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。又
∵ AC $\perp$ BD，
∴ 平行四边形AECF是菱形。

7小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB = OD. 求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB = OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB = AD，CB = CD，
∴四边形ABCD是菱形
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件并证明.
　　
　　

答案： 【解】赞成小洁的说法，补充条件：OA = OC。证明：
∵ OA = OC，OB = OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。又
∵ AC $\perp$ BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。（补充的条件不唯一）