《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[2024江苏苏州姑苏区一模，中]先化简，再求值：$\frac{x - 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 2x + 1}{2x + 2} + \frac{1}{x - 1}$，其中$x = 2$.

答案： 【解】$\frac{x - 2}{x^{2}-1}\cdot\frac{x^{2}+2x + 1}{2x + 2}+\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 2}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{(x + 1)^{2}}{2(x + 1)}+\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 2}{2(x - 1)}+\frac{2}{2(x - 1)}=\frac{x}{2(x - 1)}=\frac{x}{2x - 2}$，当$x = 2$时，原式$=\frac{2}{2\times2 - 2}=1$。

2[2023江苏徐州调研，中]先化简，再求值：$(x + 2 + \frac{4}{x - 2}) \div \frac{x^{3}}{x^{2} - 4x + 4}$，其中$x$是满足条件$x \leq 2$的合适的非负整数.

答案： 【解】原式$=(\frac{x^{2}-4}{x - 2}+\frac{4}{x - 2})\div\frac{x^{3}}{(x - 2)^{2}}=\frac{x^{2}}{x - 2}\cdot\frac{(x - 2)^{2}}{x^{3}}=\frac{x - 2}{x}$。$\because x\neq0$且$x - 2\neq0$，$\therefore x\neq0$且$x\neq2$。又$\because x$是满足条件$x\leq2$的非负整数，$\therefore x = 1$，$\therefore$原式$=\frac{1 - 2}{1}=-1$。
思路分析
(1)根据分式的混合运算法则求解即可；
(2)先求出分式$B$，然后用作差法求解即可。
易错警示
此题括号中可以看成是“异分母分式”的减法运算，通分后，减式的分子是一个多项式，运算时容易忽略分数线的括号作用。

3[2023江苏无锡质检，中]已知$x + y = 5$，$xy = 2$，则$\frac{x^{2} + 3xy + y^{2}}{x^{2}y + xy^{2}}$的值为 （ ）
A. 2 B. $\frac{9}{4}$ C. 3 D. $\frac{27}{10}$

答案： 3.D【解析】原式$=\frac{(x + y)^{2}+xy}{xy(x + y)}$，把$x + y = 5$，$xy = 2$代入得，原式$=\frac{25 + 2}{2\times5}=\frac{27}{10}$。故选D。

4[中]若$ab = 1$，$m = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$，则$m^{2021}$的值为 （ ）
A. 2021 B. 0 C. 1 D. 2

答案： 4.C【解析】$\because ab = 1$，$\therefore m=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}=\frac{1 + b + 1 + a}{(1 + a)(1 + b)}=\frac{2 + b + a}{1 + a + b + ab}=\frac{2 + b + a}{1 + a + b + 1}=1$，$\therefore m^{2021}=1^{2021}=1$。故选C。

5新考法[2024河北石家庄裕华区一模，中]用$\frac{m + 2}{m - 2}$替换分式$\frac{n - 1}{n + 1}$中的$n$后，经过化简结果是______.

答案： 5.$\frac{2}{m}$【解析】把$n=\frac{m + 2}{m - 2}$代入$\frac{n - 1}{n + 1}$，得$(\frac{m + 2}{m - 2}-1)\div(\frac{m + 2}{m - 2}+1)=(\frac{m + 2 - m + 2}{m - 2})\div(\frac{m + 2 + m - 2}{m - 2})=\frac{4}{m - 2}\cdot\frac{m - 2}{2m}=\frac{2}{m}$。

6[2024北京石景山区一模，中]已知$x^{2} - 3x - 6 = 0$，求代数式$(x - \frac{9}{x}) \div \frac{2x + 6}{x^{2}}$的值.

答案： 6.【解】$\because x^{2}-3x - 6 = 0$，$\therefore x^{2}-3x = 6$，$\therefore (x-\frac{9}{x})\div\frac{2x + 6}{x^{2}}=\frac{x^{2}-9}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2x + 6}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{x}\cdot\frac{x^{2}}{2(x + 3)}=\frac{x(x - 3)}{2}=\frac{x^{2}-3x}{2}=\frac{6}{2}=3$。

7[2024湖南怀化期中，中]已知当$x = - 4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$无意义；当$x = 2$时，此分式的值为0，则$(\frac{2a}{b})^{2} \cdot \frac{1}{a - b} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$的值是 （ ）
A. $\frac{3}{4}$ B. $\frac{8}{3}$ C. $\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{3}$

答案： 7.B【解析】$\because$当$x = - 4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}$无意义，当$x = 2$时，此分式的值为$0$，$\therefore - 8 + a = 0$，$2 - b = 0$，解得$a = 8$，$b = 2$。$(\frac{2a}{b})^{2}\cdot\frac{1}{a - b}-\frac{a}{b}\div\frac{b}{4}=\frac{4a^{2}}{b^{2}}\cdot\frac{1}{a - b}-\frac{a}{b}\cdot\frac{4}{b}=\frac{4a^{2}}{b^{2}(a - b)}-\frac{4a}{b^{2}}=\frac{4a^{2}-4a(a - b)}{b^{2}(a - b)}=\frac{4a^{2}-4a^{2}+4ab}{b^{2}(a - b)}=\frac{4ab}{b^{2}(a - b)}=\frac{4a}{b(a - b)}$，当$a = 8$，$b = 2$时，原式$=\frac{4\times8}{2\times(8 - 2)}=\frac{8}{3}$。

8[中]已知$m$满足$\frac{m^{2} - 9}{m + 3} = 0$，则$\frac{m^{2}}{m - 4} + \frac{16}{4 - m}$的值是______.

答案： 8.7【解析】$\because\frac{m^{2}-9}{m + 3}=0$，$\therefore m^{2}-9 = 0$，$m + 3\neq0$，解得$m = 3$，$\therefore$原式$=\frac{m^{2}-16}{m - 4}=\frac{(m + 4)(m - 4)}{m - 4}=m + 4 = 7$。故答案为7。

9[中]先化简，再求值：$(1 - \frac{4}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 4a + 4}{2a - 4}$，其中$a = 2^{-1} + (\pi - 2018)^{0}$.

答案： 9.【解】原式$=(\frac{a + 2}{a + 2}-\frac{4}{a + 2})\div\frac{(a - 2)^{2}}{2(a - 2)}=\frac{a - 2}{a + 2}\cdot\frac{2}{a - 2}=\frac{2}{a + 2}$。当$a = 2^{-1}+(\pi - 2018)^{0}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$时，原式$=\frac{2}{\frac{3}{2}+2}=\frac{2}{\frac{7}{2}}=\frac{4}{7}$。

10[2024四川广安模拟，中]先化简，再求值：$\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} \div (\frac{1 - 2x}{x - 1} - x + 1)$，其中$x$满足$x + 7 = 0$.

答案： 10.【解】原式$=\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}\div[\frac{1 - 2x}{x - 1}-\frac{(x - 1)^{2}}{x - 1}]=\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}\div\frac{-x^{2}}{x - 1}=\frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)}\cdot\frac{x - 1}{-x^{2}}=-\frac{1}{x + 1}$。$\because x + 7 = 0$，$\therefore x = - 7$。当$x = - 7$时，原式$=-\frac{1}{-7 + 1}=-\frac{1}{-6}=\frac{1}{6}$。

11[较难]先化简，再求值：$1 - \frac{a^{2} + 2ab + b^{2}}{a^{2} - ab} \div \frac{a + b}{a - b}$，其中$a$，$b$满足$(a + 1)^{2} + |b + 2| = 0$.

答案： 11.【解】原式$=1-\frac{(a + b)^{2}}{a(a - b)}\cdot\frac{a - b}{a + b}=1-\frac{a + b}{a}=-\frac{b}{a}$。由$(a + 1)^{2}+\vert b + 2\vert = 0$得$a + 1 = 0$，$b + 2 = 0$，$\therefore a = - 1$，$b = - 2$，$\therefore$原式$=-2$。