《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1 化简$\frac{x^{2}+y^{2}}{x - y}+\frac{2xy}{y - x}$的结果是 （ ）
A. $x + y$
B. $x - y$
C. $\frac{(x + y)^{2}}{x - y}$
D. $\frac{(x - y)^{2}}{x + y}$

答案： B【解析】原式 = $\frac{x^{2}+y^{2}}{x - y}-\frac{2xy}{x - y}=\frac{x^{2}+y^{2}-2xy}{x - y}=\frac{(x - y)^{2}}{x - y}=x - y$. 故选 B.

2 [2023北京通州区期中]若$xy = - 6$，其中$x＞y$，则下列分式的值一定比$\frac{y}{x}$的值大的是 （ ）
A. $\frac{3y}{3x}$
B. $\frac{3y}{x}$
C. $-\frac{3}{x}$
D. $\frac{y + 3}{x}$

答案： D【解析】$\because xy=-6,x＞y,\therefore y＜0＜x$.
A $\frac{3y}{3x}=\frac{y}{x}$, 故 A 选项不符合题意
B $\because \frac{3y}{x}-\frac{y}{x}=\frac{2y}{x}＜0,\therefore \frac{3y}{x}＜\frac{y}{x}$, 故 B 选项不符合题意
C $-\frac{3}{x}-\frac{y}{x}=\frac{-3 - y}{x}.\because x＞0,\therefore$ 当 $-3 - y＞0$, 即 $y＜-3$ 时, $\frac{-3 - y}{x}＞0$, 此时 $-\frac{3}{x}$ 比 $\frac{y}{x}$ 大; 当 $-3 - y＜0$, 即 $-3＜y＜0$ 时, $\frac{-3 - y}{x}＜0$, 此时 $-\frac{3}{x}$ 比 $\frac{y}{x}$ 小; 当 $-3 - y = 0$, 即 $y = - 3$ 时, $\frac{-3 - y}{x}=0$, 此时 $-\frac{3}{x}=\frac{y}{x},\therefore -\frac{3}{x}$ 不一定比 $\frac{y}{x}$ 大, 故 C 选项不符合题意
D $\frac{y + 3}{x}-\frac{y}{x}=\frac{3}{x}＞0,\therefore \frac{y + 3}{x}＞\frac{y}{x}$, 故 D 选项符合题意

3 [江苏苏州中考]化简$\frac{x^{2}}{x - 2}-\frac{2x}{x - 2}$的结果是________.

答案： $x$【解析】原式 = $\frac{x^{2}-2x}{x - 2}=\frac{x(x - 2)}{x - 2}=x$. 故答案为 $x$.

4 计算：
（1）$\frac{a}{a - b}+\frac{b}{b - a}$. （2）$\frac{2m + 1}{m - n}-\frac{m + n}{m - n}-\frac{1}{m - n}$.

答案： 【解】
(1) 原式 = $\frac{a}{a - b}-\frac{b}{a - b}=\frac{a - b}{a - b}=1$.
(2) 原式 = $\frac{2m + 1 - m - n - 1}{m - n}=\frac{m - n}{m - n}=1$.

5 [2024江苏盐城一模]计算$\frac{2}{x - 2}-\frac{8}{x^{2}-4}$的结果等于 （ ）
A. $2x - 4$
B. $-\frac{6}{x + 2}$
C. $\frac{2}{x + 2}$
D. $\frac{2}{x - 2}$

答案： C【解析】原式 = $\frac{2(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}-\frac{8}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{2x + 4 - 8}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{2x - 4}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}=\frac{2}{x + 2}$.

6 [2023江苏南京浦口区模拟]如果$x＞y＞1$，那么$\frac{y - 1}{x - 1}-\frac{y}{x}$的值是 （ ）
A. 正数
B. 负数
C. 零
D. 不确定

答案： B【解析】$\because x＞y＞1,\therefore y - x＜0,x - 1＞0$,
$\therefore \frac{y - 1}{x - 1}-\frac{y}{x}=\frac{x(y - 1)}{x(x - 1)}-\frac{y(x - 1)}{x(x - 1)}=\frac{y - x}{x(x - 1)}＜0$. 故选 B.

7 若$x^{2}+3x = - 1$，则$x-\frac{1}{x + 1}=$________.

答案： -2【解析】$x-\frac{1}{x + 1}=\frac{x(x + 1)-1}{x + 1}=\frac{x^{2}+x - 1}{x + 1}$.
$\because x^{2}+3x=-1,\therefore x^{2}=-1 - 3x,\therefore$ 原式 =
$\frac{-1 - 3x + x - 1}{x + 1}=\frac{-2x - 2}{x + 1}=-\frac{2(x + 1)}{x + 1}=-2$. 故答案为 -2.
比较分式大小的方法:①作差法;②作商法;③平方法等.
技巧总结：对于分母类似于$a - b$与$b - a$的分式，可以将其中任意一个分母提取“$-1$”，转化为同分母分式，进而利用加减法法则进行计算.

8 已知等式“$\frac{b^{2}}{a(a + b)} \frac{a}{a + b}$”被墨水覆盖了一部分，则被覆盖的部分是________.

答案： $\frac{b - a}{a}$【解析】被覆盖的部分是 $\frac{b^{2}}{a(a + b)}-\frac{a}{a + b}=\frac{b^{2}}{a(a + b)}-\frac{a^{2}}{a(a + b)}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a(a + b)}=\frac{(b + a)(b - a)}{a(a + b)}=\frac{b - a}{a}$, 故答案为 $\frac{b - a}{a}$.

9 计算：（1）$\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x^{2}-2x + 1}$. （2）$\frac{1}{x - 3}-\frac{6}{x^{2}-9}-\frac{x - 1}{6 + 2x}$.

答案： 【解】
(1) 原式 = $\frac{x - 1}{(x - 1)^{2}}+\frac{1}{(x - 1)^{2}}=\frac{x}{(x - 1)^{2}}$.
(2) 原式 = $\frac{2(x + 3)-12-(x - 1)(x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)}=\frac{-(x - 3)^{2}}{2(x + 3)(x - 3)}=\frac{3 - x}{2(x + 3)}$.

10 [2023江苏淮安金湖期末]已知$a＞0$，$M=\frac{a + 1}{a + 2}$，$N=\frac{a + 2}{a + 3}$.
（1）当$a = 5$时，计算$M$，$N$的值；
（2）猜想$M$与$N$的大小关系，并证明你的猜想.

答案： 【解】
(1) 当 $a = 5$ 时, $M=\frac{5 + 1}{5 + 2}=\frac{6}{7},N=\frac{5 + 2}{5 + 3}=\frac{7}{8}$.
(2) 猜想: $M＜N$. 证明: $M - N=\frac{a + 1}{a + 2}-\frac{a + 2}{a + 3}=\frac{(a + 1)(a + 3)-(a + 2)^{2}}{(a + 2)(a + 3)}=-\frac{1}{(a + 2)(a + 3)}$.
$\because a＞0,\therefore (a + 2)(a + 3)＞0$,
$\therefore -\frac{1}{(a + 2)(a + 3)}＜0,\therefore M＜N$.

11 [2024江苏南京玄武区期中]已知$P = x + 2$，$Q=\frac{8x}{x + 2}$.
（1）当$x = 1$时，计算$P - Q$的值；
（2）当$x＞0$时，判断$P$与$Q$的大小关系，并说明理由；
（3）设$y=\frac{1}{P}-\frac{Q}{4}$，若$x$，$y$均为非零整数，求$xy$的值.

答案： 【解】
(1) 当 $x = 1$ 时, $P - Q=x + 2-\frac{8x}{x + 2}=1 + 2-\frac{8}{3}=\frac{1}{3},\therefore P - Q$ 的值为 $\frac{1}{3}$.
(2) 当 $x＞0$ 时, $P\geq Q$. 理由如下:
$P - Q=x + 2-\frac{8x}{x + 2}=\frac{(x + 2)^{2}-8x}{x + 2}=\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}$.
$\because x＞0$,
$\therefore$ 当 $x＞0$ 且 $x\neq2$ 时, $\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}＞0$,
则 $P＞Q$;
当 $x = 2$ 时, $\frac{(x - 2)^{2}}{x + 2}=0$, 则 $P = Q$,
$\therefore$ 当 $x＞0$ 时, $P\geq Q$.
(3) $\because y=\frac{1}{P}-\frac{Q}{4},P=x + 2,Q=\frac{8x}{x + 2}$,
$\therefore y=\frac{1}{P}-\frac{Q}{4}=\frac{1}{x + 2}-\frac{8x}{4(x + 2)}=\frac{1 - 2x}{x + 2}=-2+\frac{5}{x + 2}$.
$\because x,y$ 均为非零整数,
$\therefore x=-1$ 时, $y = 3$, 则 $xy=-3$;
$x=-3$ 时, $y=-7$, 则 $xy = 21$;
$x=-7$ 时, $y=-3$, 则 $xy = 21$;
$x = 3$ 时, $y=-1$, 则 $xy=-3$.
综上所述, $xy$ 的值为 -3 或 21.