《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

7[2024黑龙江绥化中考]如图，四边形ABCD是菱形，CD = 5，BD = 8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）

A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.$\frac{48}{5}$
D.12

答案： A　[解析]
∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,
∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,
∴∠BOC=90°.在Rt△OBC中,由勾股定理得OC=$\sqrt{BC^{2}-BO^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3,
∴AC=2OC=6.
∵菱形ABCD的面积为AE·BC=$\frac{1}{2}$BD×AC=OB·AC,
∴AE=$\frac{OB·AC}{BC}$=$\frac{4×6}{5}$=$\frac{24}{5}$. 故选A.

8[2024江苏连云港中考]如图，AB与CD相交于点E，EC = ED，AC//BD.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点M在AC上，点N在BD上.(不写作法，保留作图痕迹，标明字母)

答案：

(1)[证明]
∵AC//BD,
∴∠A=∠B,∠C=∠D.
在△AEC和△BED中，$\begin{cases}∠A = ∠B, \\∠C = ∠D, \\EC = ED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED(AAS).
关键点拔：作菱形DMCN，实际上是作对角线CD的垂直平分线的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系是解决本题的关键。
(2)[解]如图所示，菱形DMCN即为所作.
　　　　　　　　　　

9[2024重庆中考B卷]如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE = DF = 1，则DM的长度为（ ）

A.2
B.√5
C.√6
D.$\frac{12}{5}$

答案： D　[解析]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠ABE=∠ADF=90°. 在△ABE和△ADF中，$\begin{cases}AB = AD, \\∠ABE = ∠ADF, \\BE = DF,\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE = AF.
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM = ∠FAM. 在△AEM和△AFM中，$\begin{cases}AE = AF, \\∠EAM = ∠FAM, \\AM = AM,\end{cases}$
∴△AEM≌△AFM(SAS)，
∴EM = FM.
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴BC = CD = 4，∠BCD = 90°，
∴CE = BC - BE = 4 - 1 = 3. 设DM = x，则MC = CD - DM = 4 - x，EM = FM = FD + DM = 1 + x. 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM² = MC² + CE²，即(1 + x)² = (4 - x)² + 3²，解得x = $\frac{12}{5}$. 故选D.

10[2024甘肃武威中考改编]【模型建立】
(1)如图(1)，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB = BC，CD⊥BD，AE⊥BD.用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由.
【模型应用】
(2)如图(2)，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE = EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.
【模型迁移】
(3)如图(3)，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE = EF.用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由.(提示：$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},1\div\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$)

答案：

(1)DE + CD = AE,理由如下:
　
　
　
∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,
　
　
　
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,
　
　
　
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,
　
　
　
∴∠ABE=∠C.
　
　
　
∵AB=BC,
∴△ABE≌△BCD,
　
　
　
∴BE=CD,AE=BD,
　
　
　
∴DE=BD−BE=AE−CD,
　
　
　
∴DE+CD=AE;
(2)AD=$\sqrt{2}$BE+DF,理由如下:过E点作EM⊥AD于点M,过E点作EN⊥CD于点N,如图
(1).
　
　
　
∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB=AD=BC=CD,DB平分∠ADC,∠BAD=∠BCD,∠ADC=90°,
　
　
　
∴$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD=BD,
　
　
　
∴DE=BD−BE=$\sqrt{2}$AD−BE.
　
　
　
∵EN⊥CD,EM⊥AD,
∴EM=EN;
∵AE=EF,
∴Rt△AEM≌Rt△FEN,
∴AM=NF.
∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,
∴四边形EMDN是正方形，
∴ED是正方形EMDN的对角线,MD=ND,
∴MD=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE,NF=ND−DF=MD−DF,
∴NF=AM=AD−MD=AD−$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE,NF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE−DF,
∴AD−$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DE−DF,即AD=$\sqrt{2}$DE−DF.
∵DE=$\sqrt{2}$AD−BE,
∴AD=$\sqrt{2}$($\sqrt{2}$AD−BE)−DF,
∴AD=$\sqrt{2}$BE+DF.
　
(3)AD=$\sqrt{2}$BE−DF,理由如下:
过A点作AH⊥BD于点H,过F点作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图
(2).
∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF,
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG.
又
∵AE=EF,
∴△HAE≌△GEF,
∴HE=FG.在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,
∴∠DFG=45°,
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF,
∴HE=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF.
∵∠ADB=45°,AH⊥HD,
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴HD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD,
∴DE=HD−HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD−$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF,
∴BD−BE=DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD−$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF.
∵BD=$\sqrt{2}$AD,
　
　
　
∴$\sqrt{2}$AD−BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD−$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF,
　
　
　
∴AD=$\sqrt{2}$BE−DF.

11[2024四川凉山州中考]如图，四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC = 24，BD = 18，则四边形EFGH的周长是________.

答案： 42　[解析]
∵四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,
∴EF,FG,GH,HE分别为△ABC,△BCD,△ADC,△ABD的中位线，
　
　
　
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×24=12,GH=$\frac{1}{2}$AC=12,FG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×18=9,HE=$\frac{1}{2}$BD=9,
　
　
　
∴四边形EFGH的周长为12+9+12+9=42,故答案为42.

12[2023广西中考]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为________.

答案：
$\sqrt{2}$　[解析]如图所示，连接AE.
∵M,N分别是EF,AF的中点,
∴MN是△AEF的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE.
∵四边形ABCD是正方形,∠B=90°,
∴AE=$\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}$=$\sqrt{4+BE^{2}}$,
∴当BE最大时,AE最大，此时MN最大.
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时,BE最大,即BE=BC=2，
∴AE=$\sqrt{4+2^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∴MN=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{2}$,
　
　
　
∴MN的最大值为$\sqrt{2}$.故答案为$\sqrt{2}$.