《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[中]如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD交于点O. 关于四边形ABCD的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：甲：若添加“AB//CD”，则四边形ABCD是菱形；乙：若添加“∠BAD=90°”，则四边形ABCD是矩形；丙：若添加“∠ABC=∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形. 其中说法正确的是　　　　(　　　)
A. 甲、乙　　　　　　　B. 甲、丙
C. 乙、丙　　　　　　　D. 甲、乙、丙
　　　　　　　　　　　　　　

答案： B【解析】
∵AB = AD，BC = DC，
∴AC垂直平分BD．若添加“AB//CD”，则∠ABD = ∠BDC．
∵BC = DC，
∴∠BDC = ∠DBC，
∴∠ABO = ∠CBO．又
∵BO = BO，∠BOA = ∠BOC，
∴△ABO≌△CBO(ASA)，
∴BA = BC，
∴AB = BC = CD = DA，
∴四边形ABCD是菱形，故甲说法正确．若添加“∠BAD = 90°”，无法证明四边形ABCD是矩形，故乙说法错误；若添加“∠ABC = ∠BCD = 90°”，则∠ABC + ∠BCD = 180°，
∴AB//CD，由证选项A可知四边形ABCD是菱形．
∵∠ABC = 90°，
∴四边形ABCD是正方形，故丙说法正确．故选B．

2[2023四川成都调研，中]如图，在边长为12的正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP，CH，BP与CH交于点E. 若BP=CH，AP=5，则线段BE的长是　　　　　(　　　)
A. 4　　　　B. $\frac{30}{13}$　　　C. $\frac{60}{13}$　　　D. 5
　　　　　　　　　　　　　　

答案： C【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC，∠A = ∠ABC = 90°．在Rt△PAB和Rt△HBC中，$\begin{cases}BP = HC,\\AB = BC,\end{cases} $
∴Rt△PAB≌Rt△HBC(HL)，
∴BH = AP = 5，∠PBA = ∠BCH．
∵正方形ABCD的边长为12，
∴AB = BC = 12．在Rt△HBC中，由勾股定理，得$CH = \sqrt{BH² + BC²}=\sqrt{5² + 12²}=13．$
∵∠PBA = ∠BCH，∠BCH + ∠BHC = 90°，
∴∠PBA + ∠BHC = 90°，
∴∠BEH = 90°，
∴BP⊥CH，
∴$S_{△HBC}=\frac{1}{2}CH·BE=\frac{1}{2}HB·BC，$
∴$\frac{1}{2}×13×BE=\frac{1}{2}×5×12，$解得$BE = \frac{60}{13}，$即线段BE的长为$\frac{60}{13}．$故选C．

3[中]如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，连接AP，EF，以下结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③EF的最小值为2. 其中结论正确的是________. (填序号)
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
①②【解析】连接PC，如图
(1)．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD = 90°，AD = CD，∠ADP = ∠CDP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC = EF．在△ADP和△CDP中，$\begin{cases}AD = CD,\\∠ADP = ∠CDP,\\DP = DP,\end{cases} $
∴△ADP≌△CDP(SAS)，

∴AP = PC，
∴AP = EF，故①正确．
延长FP与AB交于点M，延长AP与EF交于点H，如图
(2)．易知PM⊥AB，
∵BD平分∠ABC，PE⊥BC，
∴PM = PE．
∵AP = EF，∠AMP = ∠EPF = 90°，
∴Rt△AMP≌Rt△FPE(HL)，
∴∠BAP = ∠PFE．
∵∠AMP = 90°，
∴∠BAP + ∠APM = 90°．
∵∠APM = ∠HPF，
∴∠PFH + ∠HPF = 90°，
∴∠PHF = 90°，
∴AP⊥EF，故②正确．
∵EF = AP，
∴当AP的值最小时，EF的值最小，则当AP⊥BD，即$AP = \frac{1}{2}BD$时，EF的值最小．
∵AB = 4，
∴$BD = 4\sqrt{2}，$
∴$AP = 2\sqrt{2}，$
∴EF的最小值为$2\sqrt{2}，$故③不正确．综上，结论正确的是①②．故答案为①②．

4[2023江苏苏州姑苏区期中，中]如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE=2. 作EF//BC，分别交AC，AB于点G，F，M，N分别是AG，BE的中点，则MN的长为_______.
　　 　　

答案：
5【解析】如图，连接FM，FC．
∵四边形ABCD是正方形，EF//BC，
∴∠BAC = 45°，
∴△AFG为等腰直角三角形．
∵M是AG的中点，
∴FM⊥AG，
∴△FMC是直角三角形．
∵N是BE的中点，易得四边形BCEF是矩形，
∴点N在CF上，且是CF的中点，
∴$MN = \frac{1}{2}FC．$
∵DE = 2，BC = DC = 8，
∴CE = 6，
∴$FC = BE = \sqrt{BC² + CE²}=10，$
∴$MN = \frac{1}{2}FC = 5．$

5[2024江苏盐城质检，较难]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF=45°，连接EF，则△CEF的周长为________.

答案：
4【解析】如图，过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PK⊥AB于K，则∠C = ∠PMC = ∠PNC = 90°．在EA上取一点J，使得MJ = FN，连接PJ．
∵BP平分∠ABC，AP平分∠CAB，
∴PM = PK = PN，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM = CN = PM，∠MPN = 90°．在△PMJ和△PNF中，$\begin{cases}PM = PN,\\∠PMJ = ∠PNF = 90°,\\MJ = NF,\end{cases}$
∴△PMJ≌△PNF(SAS)，
∴∠MPJ = ∠FPN，PJ = PF，
∴∠JPF = ∠MPN = 90°．
∵∠EPF = 45°，
∴∠EPF = ∠EPJ = 45°．在△PEF和△PEJ中，$\begin{cases}PE = PE,\\∠EPF = ∠EPJ,\\PF = PJ,\end{cases} $
∴△PEF≌△PEJ(SAS)，
∴EF = EJ = EM + MJ = EM + FN，
∴△CEF的周长为CE + EF + CF = CE + EM + CF + FN = CM + CN = 2PM．
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AC=\frac{1}{2}(AC + BC + AB)·PM，$
∴24 = 12PM，
∴PM = 2，
∴△ECF的周长为4．

6[2024江苏苏州期末，中]如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，在BC上截取BM，延长CD到点N，使BM=DN=CE，求证：四边形AMFN是正方形.

答案： 【证明】
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AB = BC = CD = AD，∠B = ∠ADC = ∠E = ∠CGF = 90°，CE = EF = FG = CG，
∴∠FGN = ∠ADN = 90°．
∵BM = DN = CE，
∴BM = DN = EF = FG = CG，
∴BC = BM + CM = CE + CM = EM，CD = CG + DG = DN + DG = NG．
在△ABM，△MEF，△NGF，△ADN中，AB = ME = NG = AD，∠B = ∠E = ∠NGF = ∠ADN = 90°，BM = EF = GF = DN，
∴△ABM≌△MEF≌△NGF≌△ADN(SAS)，
∴AM = MF = NF = AN，∠BAM = ∠DAN，
∴四边形AMFN是菱形．
∵∠BAD = ∠BAM + ∠DAM = 90°，
∴∠DAN + ∠DAM = 90° = ∠MAN，
∴四边形AMFN是正方形．

7核心素养·推理能力[难]在Rt△AEB中，∠AEB=90°，以斜边AB为边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O(如图(1)).
(1)求证：EO平分∠AEB.
(2)试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，并证明你的结论.
(3)如图(2)，过点C作CF⊥EB交EB延长线于F，过点D作GH//EF，分别交EA延长线和FC延长线于H，G. 求证：四边形EFGH为正方形.
　　　　　　

答案：

(1)【证明】如图，延长EA至点F，使AF = BE，连接OF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC = ∠BAD = 90°，AC⊥BD，∠ABO = ∠BAO = 45°，OB = OA，
∴∠AOB = 90°，
∴∠AEB + ∠AOB = 90° + 90° = 180°，
∴∠OBE + ∠OAE = 180°．
又
∵∠OAE + ∠OAF = 180°，
∴∠OBE = ∠OAF，
∴△OBE≌△OAF(SAS)，
∴OE = OF，∠BOE = ∠AOF．
∵∠BOE + ∠AOE = 90°，
∴∠AOF + ∠AOE = 90°，
∴∠EOF = 90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEF = ∠OFE = 45°，
∴∠OEB = ∠OEA = 45°，即EO平分∠AEB．
(2)【解$】EA + EB = \sqrt{2}OE．$证明如下：由
(1)知BE = AF，△EOF是等腰直角三角形，
∴2OE² = EF²，即2OE² = (EA + EB)²，
∴$EA + EB = \sqrt{2}OE．(3)【$证明】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD = 90°，AB = AD．
∵GH//EF，
∴∠BEA + ∠H = 180°，
∴∠BEA = ∠H = ∠BAD = 90°，
∴∠EAB + ∠DAH = 90°，∠EAB + ∠ABE = 90°，
∴∠ABE = ∠DAH．
在△ABE与△DAH中，$\begin{cases}∠BEA = ∠H,\\∠ABE = ∠DAH,\\AB = DA,\end{cases}$
∴△ABE≌△DAH(AAS)．
同理可得△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，
∴CG = BF = AE = DH，DG = CF = BE = AH，
∴CG + FC = BF + BE = AE + AH = DH + DG，即FG = EF = EH = GH．
又
∵∠H = 90°，
∴四边形EFGH为正方形．