《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[2023山东济南模拟，中]如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF的中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P.若$S_{\triangle APD}=2\ cm^{2},S_{\triangle BQE}=8\ cm^{2}$，则阴影部分的面积为（ ）
　　　　　
A. 24 cm²
B. 17 cm²
C. 18 cm²
D. 10 cm²

答案：
C【解析】如图,

连接EF.
∵F是□ABCD的边CD上的点，
∴BE//CF，
∴∠EBF = ∠CFB，∠BEC = ∠FCE.
∵BQ = FQ，
∴△EBQ≌△CFQ(AAS)，
∴BE = CF，EQ = CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴$S_{△BEF}=2S_{△BQC}=16 cm². $易得四边形ADFE是平行四边形，
∴$S_{△APD}=S_{△EPF}=2 cm²，$
∴$S_{阴影}=S_{△EPF}+S_{△EBF}=18 cm². $故选C.

2[2024江苏徐州期末，较难]如图，AB = CD = 2，∠A = 15°，∠C = 15°，∠D = 105°，则线段AD的长为_______.
　　　　　　　　

答案：
$\sqrt{2}$【解析】过点A作AE//CD，且AE = CD，连接BE，CE，如图.
∵AE//CD，AE = CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD = CE，AD//CE.
∵AE//CD，AD//CE，∠D = 105°，
∴∠DAE = 180° - 105° = 75°，∠DCE = 180° - 105° = 75°. 又
∵∠DAB = 15°，∠DCB = 15°，
∴∠BAE = ∠DAE - ∠DAB = 75° - 15° = 60°，∠BCE = ∠DCE + ∠DCB = 75° + 15° = 90°.
∵∠BAE = 60°，AE = CD = AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE = AB = 2，∠ABE = 60°.
∵∠DAB = ∠DCB，∠DOA = ∠COB，∠D = 105°，
∴∠D = ∠ABC = 105°，
∴∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = 105° - 60° = 45°，
∴∠EBC = ∠BEC = 45°，
∴BC = EC. 在Rt△BCE中，EC² + BC² = BE²，即2BC² = BE²，
∴2BC² = 4，解得BC = $\sqrt{2}$(负值已舍去)，即AD = CE = BC = $\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{2}$.

3[2023浙江温州鹿城区期中，中]如图(1)，在▱ABCD中，∠BAD的平分线恰好经过边CD的中点F，且与边BC的延长线交于点E.
(1)若AB = 6，求BE的长；
(2)如图(2)，连接BF，过点D作DG⊥AE于点H，交AB于点G. 求证：四边形BFDG是平行四边形.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　E D　　F　　　c
A　　　G　　B
　　　　　　　　　　　　　　图(2)

答案：
(1)【解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAF = ∠E.
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAF = ∠BAE，
∴∠BAE = ∠E，
∴BE = AB = 6.
(2)【证明】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠DAF = ∠E.
∵F是CD的中点，
∴DF = CF. 在△ADF和△ECF中，$\begin{cases}∠DAF = ∠E, \\∠AFD = ∠EFC, \\DF = CF,\end{cases}$
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴AF = EF. 由
(1)可知，BE = AB，
∴BF⊥AE.
∵DG⊥AE，
∴DG//BF. 又
∵DF//BG，
∴四边形BFDG是平行四边形.

4[2024陕西渭南期末，较难]问题背景：
如图，在等边△ABC中，D，E两点分别在边BC，AC上，BD = CE，以AD为边作等边△ADF，连接BE，EF，CF.
问题探究：
(1)求证：△CEF为等边三角形；
(2)求证：四边形BDFE为平行四边形；
(3)若EF = 2，求四边形BDFE的面积.

答案：

(1)【证明】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = ∠ACB = ∠ABC = 60°.
∵△ADF是等边三角形，
∴AD = AF，∠DAF = 60°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAF - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAF. 在△BAD和△CAF中，$\begin{cases}BA = CA, \\∠BAD = ∠CAF, \\AD = AF,\end{cases}$
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴∠ACF = ∠ABD = 60°，BD = CF. 又
∵BD = CE，
∴CF = CE，
∴△CEF是等边三角形.
(2)【证明】由
(1)可知，△CEF是等边三角形，
∴∠CEF = 60°，EF = CE.
思路分析：
(3)过E作EG⊥BC于G，则∠EGC = 90°，在Rt△CEG中，求得∠CEG = 30°，则CG = $\frac{1}{2}$CE，由勾股定理求得EG的长度，进而即可得解.
思路分析：
(1)由非负数的性质求出a，b的值，再根据三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一列方程，解之即可.
∴∠BCA = ∠CEF = 60°，
∴EF//BD.
∵BD = CE，
∴EF = BD，
∴四边形BDFE为平行四边形.
(3)【解】如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC = 90°.
∵CE = EF = 2，∠ACB = 60°，

∴在Rt△CEG中，∠CEG = 90° - ∠ACB = 30°，
∴CG = $\frac{1}{2}$CE = 1，
∴EG = $\sqrt{CE^{2}-CG^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}-1^{2}}$ = $\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形BDFE}=BD·EG = 2×$\sqrt{3}$ = 2$\sqrt{3}$.

5[较难]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足|a + 4| + (b - 3)² = 0，CD//AB，且CD = AB，点C(0，4)在y轴上.
(1)如图(1)，动点P从C点出发，以每秒2个单位长度沿y轴向下运动，当时间t为何值时，三角形ABP的面积等于四边形ABCD面积的四分之一；
(2)如图(2)，动点P从O点出发，沿y轴向上运动，连接PD，PA，∠CDP，∠APD，∠PAB之间存在什么样的数量关系？请说明理由(排除P与O，C两点重合的特殊情况).
　　　　　　　 　D　　y
　　　　　　　　　　　　　　　
AO　Bx 图(2)

答案：
【解】
(1)
∵|a + 4|+(b - 3)² = 0，
∴a + 4 = 0，b - 3 = 0，
∴a = - 4，b = 3，
∴A(-4，0)，B(3，0)，
∴OA = 4，OB = 3，
∴AB = 7.
∵点C(0，4)，
∴OC = 4.
∵CD//AB，且CD = AB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵三角形ABP的面积等于平行四边形ABCD面积的四分之一，当点P在x轴上方时，OP = 4 - 2t，
∴$\frac{1}{2}$×(4 - 2t)×7 = $\frac{1}{4}$×7×4，解得t = 1；当点P在x轴的下方时，OP = 2t - 4，
∴$\frac{1}{2}$×(2t - 4)×7 = $\frac{1}{4}$×7×4，解得t = 3. 故当时间t为1或3时，三角形ABP的面积等于四边形ABCD面积的四分之一.
(2)如图
(1)，当点P在CD下方时，∠DPA = ∠CDP + ∠PAB. 理由：过P作PQ//DC交AD于Q，
∴∠QPD = ∠CDP.
∵CD//AB，
∴PQ//AB，
∴∠QPA = ∠PAB.
∵∠DPA = ∠QPD + ∠QPA，
∴∠DPA = ∠CDP + ∠PAB. 如图
(2)，当点P在CD的上方时，∠DPA = ∠PAB - ∠CDP. 理由：如图
(2)，过P作PH//CD，
∴∠HPD = ∠CDP.
∵CD//AB，
∴PH//AB，
∴∠HPA = ∠PAB.
∵∠DPA = ∠HPA - ∠HPD，
∴∠DPA = ∠PAB - ∠CDP.


图
(1) 图
(2)