《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[中]已知关于$x$的方程$\frac{2x - m}{x - 2}=3$的解是正数，那么$m$的取值范围是（ ）
A. $m＜6$且$m\neq4$
B. $m＜6$
C. $m＞6$且$m\neq8$
D. $m＞6$

答案： A [解析]去分母，得$2x - m = 3(x - 2)$。去括号，得$2x - m = 3x - 6$。解得$x = 6 - m$。由分式方程的解为正数，得$6 - m＞0$，且$6 - m\neq2$，解得$m＜6$且$m\neq4$。故选A。

2[中]对于两个不相等的实数$a$，$b$，我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a$，$b$中的较大值，如：$\max\{2,4\}=4$，按照这个规定，方程$\max\{-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\}=\frac{2}{3 - x}$的解为（ ）
A. 1
B. -3
C. 1或-3
D. 1或3

答案： C [解析]当$\max\{-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\}=-\frac{1}{x}$时，$-\frac{1}{x}=\frac{2}{3 - x}$，方程两边同乘$x(3 - x)$，得$x - 3 = 2x$，解得$x=-3$，经检验，$x=-3$是原分式方程的解，且当$x=-3$时，$-\frac{1}{x}＞\frac{1}{x}$，故$x=-3$符合题意；当$\max\{-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\}=\frac{1}{x}$时，$\frac{1}{x}=\frac{2}{3 - x}$，方程两边同乘$x(3 - x)$，得$3 - x = 2x$，解得$x = 1$，经检验，$x = 1$是原分式方程的解，且当$x = 1$时，$\frac{1}{x}＞-\frac{1}{x}$，故$x = 1$符合题意。
∴方程$\max\{-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\}=\frac{2}{3 - x}$的解为1或-3。

3[中]关于$x$的分式方程$\frac{3x - a}{x - 3}+\frac{x + 1}{3 - x}=1$的解为正数，且关于$y$的不等式组$\begin{cases}y + 9\leq2(y + 2)\\\frac{2y - a}{3}＞1\end{cases}$的解集为$y\geq5$，则所有满足条件的整数$a$的值之和是（ ）
A. 13
B. 15
C. 18
D. 20

答案： A [解析]解分式方程得$x = a - 2$。
∵$x＞0$且$x\neq3$，
∴$a - 2＞0$且$a - 2\neq3$，
∴$a＞2$且$a\neq5$。解不等式组得$\begin{cases}y\geq5 \\ y＞\frac{a + 3}{2}\end{cases}$。
∵不等式组的解集为$y\geq5$，
∴$\frac{a + 3}{2}＜5$，
∴$a＜7$，
∴$2＜a＜7$且$a\neq5$，
∴所有满足条件的整数$a$的值之和为$3 + 4 + 6 = 13$，故选A。

4新考法[2023河北唐山丰南区期末，较难]已知关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的两个解分别为$a$，$\frac{1}{a}$，则方程$x+\frac{1}{x + 1}=a+\frac{1}{a + 1}$的解是（ ）
A. $a$，$-\frac{a}{a + 1}$
B. $\frac{1}{a + 1}$，$a + 1$
C. $\frac{1}{a}$，$a + 1$
D. $a$，$-\frac{1}{a + 1}$

答案： A [解析]类比$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$，则$(x + 1)+\frac{1}{x + 1}=(a + 1)+\frac{1}{a + 1}$，所以$x + 1 = a + 1$或$x + 1=\frac{1}{a + 1}$，即$x = a$或$x=\frac{1}{a + 1}-1=-\frac{a}{a + 1}$。

5[2023江苏无锡惠山区质检，中]已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2}+\frac{2m}{2 - x}=3m$无解，则$m$的值是________.

答案： 1或$\frac{1}{3}$ [解析]$\frac{x}{x - 2}+\frac{2m}{2 - x}=3m$，方程两边同乘$(x - 2)$，得$x - 2m = 3m(x - 2)$。去括号，得$x - 2m = 3mx - 6m$。移项，得$x - 3mx = 2m - 6m$。合并同类项，得$(1 - 3m)x=-4m$。
∵分式方程$\frac{x}{x - 2}+\frac{2m}{2 - x}=3m$无解，
∴$1 - 3m = 0$或$x = 2$，
∴$m=\frac{1}{3}$。将$x = 2$代入$(1 - 3m)x=-4m$，解得$m = 1$。综上，$m = 1$或$\frac{1}{3}$，故答案为1或$\frac{1}{3}$。

6新考法[较难]对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
(1)判断一元一次方程$3 - 2(1 - x)=4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1}-1=\frac{4}{4x^{2}-1}$是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于$x$，$y$的二元一次方程$y = mx + 6$与$y = x + 4m$是“相伴方程”，求正整数$m$的值.

答案： [解]
(1)一元一次方程$3 - 2(1 - x)=4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1}-1=\frac{4}{4x^{2}-1}$不是“相似方程”。理由如下：解一元一次方程$3 - 2(1 - x)=4x$，得$x=\frac{1}{2}$。解分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1}-1=\frac{4}{4x^{2}-1}$，得$x=\frac{1}{2}$。检验：当$x=\frac{1}{2}$时，$(2x + 1)(2x - 1)=0$，
∴原分式方程无解，
∴一元一次方程$3 - 2(1 - x)=4x$与分式方程$\frac{2x + 1}{2x - 1}-1=\frac{4}{4x^{2}-1}$不是“相似方程”。
(2)由题意，得两个方程有相同的整数解，
∴$mx + 6 = x + 4m$，
∴$(m - 1)x = 4m - 6$。①当$m - 1 = 0$时，方程无解；②当$m - 1\neq0$，即$m\neq1$时，$x=\frac{4m - 6}{m - 1}$，即$x = 4-\frac{2}{m - 1}$。
∵$x$，$y$均为整数，
∴$m - 1 = 1,2,-1,-2$，即$m = 2,3,0,-1$。又
∵$m$取正整数，
∴$m = 2$或3。

7核心素养运算能力[较难]观察下列方程以及解的特征：
①$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1 = 2$，$x_2=\frac{1}{2}$；
②$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为$x_1 = 3$，$x_2=\frac{1}{3}$；
③$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为$x_1 = 4$，$x_2=\frac{1}{4}$；
……
(1)猜想关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解，并利用“方程解的概念”进行验证.
(2)利用(1)中的结论解分式方程：
①$y^3+\frac{1}{y^3}=\frac{65}{8}$；②$x+\frac{1}{4x - 8}=\frac{a^2 + 4a + 1}{2a}$.
(3)关于$x$的方程$2x+\frac{n^2 + 2n - 3}{2x + 1}=2n + 1$的两个解分别为$x_1$，$x_2(x_1＜x_2)$，求$\frac{2x_1}{x_2 - 2}$的值.

答案： [解]
(1)关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解为$x_{1}=m$，$x_{2}=\frac{1}{m}$。验证：当$x = m$时，左边$=m+\frac{1}{m}=$右边，
∴$x = m$是该分式方程的解；当$x=\frac{1}{m}$时，左边$=\frac{1}{m}+\frac{1}{\frac{1}{m}}=\frac{1}{m}+m=$右边，
∴$x=\frac{1}{m}$是该分式方程的解。
(2)①
∵$y^{3}+\frac{1}{y^{3}}=8+\frac{1}{8}$，
∴$y^{3}=8$或$y^{3}=\frac{1}{8}$，
∴$y = 2$或$y=\frac{1}{2}$。
②令$4x - 8 = t$，则$x=\frac{t + 8}{4}$，
∴原方程变形为$\frac{t}{4}+2+\frac{1}{t}=\frac{a^{2}+4a + 1}{2a}$，整理得$\frac{t}{4}+\frac{1}{t}=\frac{a^{2}+1}{2a}$，方程两边同乘2，得$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}=\frac{a^{2}+1}{a}$，即$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}=a+\frac{1}{a}$，则$\frac{t}{2}=a$或$\frac{t}{2}=\frac{1}{a}$，
∴$t = 2a$或$t=\frac{2}{a}$，即$4x - 8 = 2a$或$4x - 8=\frac{2}{a}$，解得$x=\frac{2a + 8}{4}=\frac{a + 4}{2}$或$x = 2+\frac{1}{2a}$。
(3)
∵$2x+\frac{n^{2}+2n - 3}{2x + 1}=2n + 1$，
∴$2x + 1+\frac{n^{2}+2n - 3}{2x + 1}=2n + 2$，$2x + 1+\frac{(n + 3)(n - 1)}{2x + 1}=(n + 3)+(n - 1)$，
∴$2x + 1 = n + 3$或$2x + 1 = n - 1$，
∴$x=\frac{n + 2}{2}$或$\frac{n - 2}{2}$。
∵$x_{1}＜x_{2}$，
∴$x_{1}=\frac{n - 2}{2}$，$x_{2}=\frac{n + 2}{2}$，
∴$\frac{2x_{1}}{x_{2}-2}=\frac{2\times\frac{n - 2}{2}}{\frac{n + 2}{2}-2}=\frac{n - 2}{\frac{n - 2}{2}}=2$。
关键点拨：读懂题意，正确理解题中所给的定义是解题的关键。
关键点拨：
(2)②令$4x - 8 = t$，将原方程变形为$\frac{t}{2}+\frac{2}{t}=a+\frac{1}{a}$是解题关键。