《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[2024湖南怀化期中，中]如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD//AB，PE//BC，PF//AC，若△ABC的周长为18，则PD + PE + PF =（ ）
A. 18
$B. 9\sqrt{3}$
C. 6
D. 条件不够，不能确定

答案：
C【解析】如图，延长$EP$交$AB$于点$G$，延长$DP$交$AC$与点$H$.$\because PD// AB$，$PE// BC$，$PF// AC$，$\therefore$四边形$AFPH$、四边形$PDBG$均为平行四边形，$\therefore PD = BG$，$PH = AF$. 又$\because \triangle ABC$为等边三角形，$\therefore$易得$\triangle FGP$和$\triangle HPE$是等边三角形，$AB = BC = AC$，$\therefore PE = PH = AF$，$PF = GF$，$\therefore PE + PD + PF = AF + BG + FG = AB=\frac{18}{3}=6$，故选C.

2[2023湖北黄石模拟，中]如图，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE = ∠ABE + ∠CBD，AC = 1，则BD必定满足（ ）
A. 0＜BD＜2
B. BD = 2
C. BD＞2
D. 以上情况均有可能

答案： A【解析】$\because AE = AB$，$\therefore \angle ABE=\angle AEB$. 同理，$\angle CBD=\angle CDB$.$\because \angle DBE=\angle ABE+\angle CBD$，$\therefore \angle ABC = 2\angle DBE$，$\angle AEB+\angle CDB=\angle DBE$.$\because \angle DBE+\angle BED+\angle BDE = 180^{\circ}$，$\therefore \angle AEB+\angle CDB+\angle BED+\angle BDE = 180^{\circ}$，即$\angle AED+\angle CDE = 180^{\circ}$，$\therefore AE// CD$.$\because AE = CD$，$\therefore$四边形$AEDC$为平行四边形，$\therefore DE = AC$.$\because AB = BC$，$\therefore \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore BC = CD = AC = 1$. 在$\triangle BCD$中，$\because BC - CD\lt BD\lt BC + CD$，$\therefore 0\lt BD\lt 2$. 故选A.

3[2024江苏宿迁调研，中]如图，在四边形ABCD中，∠BCD = 90°，CD的垂直平分线分别交边CD，AD于G，E，连接CE，若CE//AB，$AB = 4\sqrt{3}，$CE = 10，则AE的长为________.

答案：
$10 - 4\sqrt{3}$【解析】如图，延长$GE$，$BA$交于点$F$.$\because GE$是$CD$的垂直平分线，$\therefore ED = EC$，$\angle DGE = 90^{\circ}$.$\because \angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BCD=\angle DGE = 90^{\circ}$，$\therefore GE// CB$.$\because CE// AB$，$\therefore$四边形$CEFB$是平行四边形，$\therefore CE = BF = 10$.$\because AB = 4\sqrt{3}$，$\therefore AF = BF - AB = 10 - 4\sqrt{3}$.$\because CE// AB$，$\therefore \angle CEG=\angle F$.$\because ED = EC$，$EG\perp CD$，$\therefore \angle CEG=\angle DEG$.$\because \angle DEG=\angle AEF$，$\therefore \angle F=\angle AEF$，$\therefore AE = AF = 10 - 4\sqrt{3}$，故答案为$10 - 4\sqrt{3}$.

4[2023江苏扬州邗江区质检，中]如图，在四边形ABCD中，AD//BC且AD = 9 cm，BC = 6 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由A向D运动，点Q以2 cm/s的速度由C向B运动. 则经过________s后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.

答案：
2或3
思路分析
设运动时间为$t\ s$，分情况讨论$\begin{cases}AP = BQ\rightarrow \square ABQP\\PD = CQ\rightarrow \square DCQP\end{cases}$求$t$
【解析】设点$P$，$Q$运动的时间为$t\ s$. 依题意，得$CQ = 2t$，$BQ = 6 - 2t$，$AP = t$，$PD = 9 - t$.$\because AD// BC$，$\therefore$当$BQ = AP$时，四边形$APQB$是平行四边形，即$6 - 2t = t$，解得$t = 2$；当$CQ = PD$时，四边形$CQPD$是平行四边形，即$2t = 9 - t$，解得$t = 3$，$\therefore$经过$2\ s$或$3\ s$后，直线$PQ$将四边形$ABCD$截出一个平行四边形. 故答案为2或3.

5[2023山东烟台期末，中]如图，在□ABCD中，∠C = 60°，M，N分别是AD，BC的中点.
（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；
建议用时30分钟答案D14
（2）若BC = 2CD，MN = 1，求BD的长.

答案：
（1）【证明】$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD = BC$，$AD// BC$.$\because M$，$N$分别是$AD$，$BC$的中点，$\therefore MD = NC$.$\because MD// NC$，$\therefore$四边形$MNCD$是平行四边形.
（2）【解】如图，连接$ND$.$\because$四边形$MNCD$是平行四边形，$\therefore DC = MN = 1$.$\because N$是$BC$的中点，$\therefore BN = CN=\frac{1}{2}BC$.$\because BC = 2CD$，$\therefore CD = CN$. 又$\because \angle C = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle NCD$是等边三角形，$\therefore ND = NC = DC = 1$，$\angle CDN=\angle DNC = 60^{\circ}$.$\because \angle DNC$是$\triangle BND$的外角，$\therefore \angle NBD+\angle NDB=\angle DNC$.$\because DN = CN = BN$，$\therefore \angle DBN=\angle BDN=\frac{1}{2}\angle DNC = 30^{\circ}$，$\therefore \angle BDC=\angle CDN+\angle BDN = 90^{\circ}$.$\because BC = 2DC = 2$，$\therefore BD=\sqrt{BC^{2}-DC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.

6核心素养|模型观念[2023江苏南京江宁区质检，较难]数学课上，陈老师布置了一道题目：如图（1），在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB + BD = AC + CD，那么AB = AC吗？
悦悦的思考：通过添辅助线“补短”，分别表示出“AB + BD”和“AC + CD”……
（1）根据悦悦的思考，完成上述解答.
（2）如图（2），在四边形ABCD中，AD//BC，AB + AD = CD + CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

答案：
（1）【解】如图
(1)，延长$DB$至$E$，使$BE = AB$. 延长$DC$至$F$，使$CF = AC$. 连接$AE$，$AF$.$\because AB + BD = AC + CD$，$\therefore DE = DF$. 又$\because AD\perp BC$，$\therefore \triangle AEF$是等腰三角形，$\therefore \angle E=\angle F$.$\because AB = BE$，$\therefore \angle ABC = 2\angle E$. 同理，$\angle ACB = 2\angle F$，$\therefore \angle ABC=\angle ACB$，$\therefore AB = AC$.

（2）【证明】如图
(2)，在$DA$的延长线上取点$M$，使$AM = AB$，在$BC$的延长线上取点$N$，使$CN = CD$，连接$BM$，$DN$，则$\angle M=\angle ABM$，$\angle N=\angle CDN$.$\because AB + AD = CD + CB$，$\therefore AM + AD = CN + CB$，即$DM = BN$. 又$\because AD// BC$，$\therefore$四边形$MBND$是平行四边形，$\therefore MB = ND$，$\angle M=\angle N$，$\therefore \angle ABM=\angle CDN$. 在$\triangle ABM$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}\angle M=\angle N,\\MB = ND,\\\angle ABM=\angle CDN,\end{cases}$$\therefore \triangle ABM\cong \triangle CDN(ASA)$，$\therefore AM = CN$.$\because DM = BN$，$\therefore DM - AM = BN - CN$，即$AD = BC$.$\because AD// BC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形.