《2025年初中必刷题八年级数学下册苏科版》

1[2024江苏南京玄武区期中]对下列分式约分，正确的是（ ）
A. $\frac{a^{6}}{a^{4}} = a$
B. $\frac{x + y}{x - y} = -1$
C. $\frac{2ab^{5}}{6a^{2}b^{3}} = \frac{1}{3}$
D. $\frac{m + n}{m^{2} + mn} = \frac{1}{m}$

答案： 1. D 【解析】A选项，$\frac{a^{6}}{a^{4}} = a^{2}$，故本选项错误，不符合题意；B选项，$\frac{x + y}{x - y}$不能约分，故本选项错误，不符合题意；C选项，$\frac{2ab^{5}}{6a^{2}b^{3}} = \frac{b^{2}}{3a}$，故本选项错误，不符合题意；D选项，$\frac{m + n}{m^{2} + mn} = \frac{1}{m}$，故本选项正确，符合题意.

2[2024江苏泰州期中]计算$\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{a - 2}{2a + 4}$的结果为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{a + 2}{a - 2}$
C. $\frac{a + 2}{2(a - 2)}$
D. 2

答案： 2. A 【解析】$\frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{a - 2}{2a + 4} = \frac{a + 2}{a - 2} \cdot \frac{a - 2}{2(a + 2)} = \frac{1}{2}$.

3若$m$为整数，则能使$\frac{m^{2} - 2m + 1}{m^{2} - 1}$也为整数的$m$有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 3. C 【解析】$\because \frac{m^{2} - 2m + 1}{m^{2} - 1} = \frac{(m - 1)^{2}}{(m + 1)(m - 1)} = \frac{m - 1}{m + 1} = \frac{m + 1 - 2}{m + 1} = 1 - \frac{2}{m + 1}$，$\therefore m + 1$是2的约数，$\therefore m + 1 = \pm 2$或$\pm 1$. 又$\because m \neq \pm 1$，$\therefore m = - 2,-3$或0，$\therefore$能使$\frac{m^{2} - 2m + 1}{m^{2} - 1}$也为整数的m的值为$-2,-3,0$，共3个，故选C.

4化简分式$\frac{6x^{2}y}{9xy^{2}}$时，分子与分母都约去的公因式是________.

答案： 4. $3xy$ 【解析】$6x^{2}y$与$9xy^{2}$的公因式是$3xy$，所以化简分式$\frac{6x^{2}y}{9xy^{2}}$时，分子与分母都约去的公因式是$3xy$.

5约分：
（1）$\frac{x^{2} - 4}{xy + 2y} =$________；
（2）$\frac{4y^{2} - x^{2}}{-x^{2} + 4xy - 4y^{2}} =$________.

答案： 5. （1）$\frac{x - 2}{y}$ （2）$\frac{x + 2y}{x - 2y}$ 【解析】（1）原式 = $\frac{(x + 2)(x - 2)}{y(x + 2)} = \frac{x - 2}{y}$. 故答案为$\frac{x - 2}{y}$.
（2）原式 = $\frac{(2y + x)(2y - x)}{-(x - 2y)^{2}} = \frac{(2y + x)(2y - x)}{-(2y - x)^{2}} = \frac{x + 2y}{x - 2y}$. 故答案为$\frac{x + 2y}{x - 2y}$.

6[2023河北邯郸丛台区期末]小丽在化简分式$\frac{}{x^{2} - 1} = \frac{x - 1}{x + 1}$时，部分不小心滴上了墨水，请你推测，部分的式子应该是________.

答案： 6. $x^{2} - 2x + 1$ 【解析】$\because \frac{*}{x^{2} - 1} = \frac{x - 1}{x + 1}$，$\frac{*}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1}$，$\therefore$原式等号右侧分子、分母同乘$x - 1$，即$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1}$，故*部分的式子应该是$x^{2} - 2x + 1$. 故答案为$x^{2} - 2x + 1$.

7[2024湖北襄阳樊城区期末]如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）下列分式：①$\frac{x - 1}{x^{2} + 1}$；②$\frac{a - 2b}{a^{2} - b^{2}}$；③$\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$；④$\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b)^{2}}$，其中是“和谐分式”的是________（填写序号）；
（2）若$a$为正整数，且$\frac{x + 1}{x^{2} + ax + 4}$为“和谐分式”，则$a$的值为________；
（3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子、分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果：________. $m^{2} - n^{2}$；$m^{2} + 2mn + n^{2}$；$m - n$.

答案： 7. （1）② （2）4 （3）$\frac{m - n}{m^{2} + 2mn + n^{2}}$，$\frac{m^{2} + 2mn + n^{2}}{m - n}$
【解析】（1）①$\frac{x - 1}{x^{2} + 1}$，分式的分子和分母都不可以因式分解，故不是“和谐分式”；②$\frac{a - 2b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a - 2b}{(a + b)(a - b)}$，分式的分母可以因式分解，且这个分式不可约分，故是“和谐分式”；③$\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}} = \frac{x + y}{(x + y)(x - y)} = \frac{1}{x - y}$，分式的分母可以因式分解，但分式可以约分，故不是“和谐分式”；④$\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b)^{2}} = \frac{(a + b)(a - b)}{(a + b)^{2}} = \frac{a - b}{a + b}$，分式的分子可以因式分解，但分式可以约分，故不是“和谐分式”. 故答案为②.
（2）$\because \frac{x + 1}{x^{2} + ax + 4}$为“和谐分式”，$\therefore x^{2} + ax + 4$可以因式分解. 又$\because a$为正整数，$\therefore$可以使$x^{2} + ax + 4$因式分解的$a$的值为4或5.
当$a = 4$时，分式为$\frac{x + 1}{x^{2} + 4x + 4} = \frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$，是“和谐分式”；当$a = 5$时，分式为$\frac{x + 1}{x^{2} + 5x + 4} = \frac{x + 1}{(x + 4)(x + 1)} = \frac{1}{x + 4}$，不是“和谐分式”.
综上，$a$的值是4. 故答案为4.
（3）$m^{2} - n^{2} = (m + n)(m - n)$，$m^{2} + 2mn + n^{2} = (m + n)^{2}$，$\therefore m^{2} - n^{2}$不能作为分子或分母，$\therefore$构造的“和谐分式”是$\frac{m - n}{m^{2} + 2mn + n^{2}}$，$\frac{m^{2} + 2mn + n^{2}}{m - n}$.

8先化简，再求值：$\frac{a^{3} - 4ab^{2}}{a^{3} - 4a^{2}b + 4ab^{2}}$，其中$a = 2$，$b = - \frac{1}{2}$.

答案： 8. 【解】原式 = $\frac{a(a^{2} - 4b^{2})}{a(a^{2} - 4ab + 4b^{2})} = \frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^{2}} = \frac{a + 2b}{a - 2b}$.
当$a = 2$，$b = - \frac{1}{2}$时，原式 = $\frac{2 + 2\times(-\frac{1}{2})}{2 - 2\times(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{3}$.

9[2024江苏泰州兴化期中]下列是最简分式的是（ ）
A. $\frac{a + 1}{a^{2} + 1}$
B. $\frac{6}{3a}$
C. $\frac{a - 1}{a^{2} - 1}$
D. $\frac{a - 1}{1 - a}$

答案： 9. A 【解析】A选项，该分式的分子、分母中不含公因式，是最简分式，符合题意；B选项，该分式的分子、分母中含有公因数3，不是最简分式，不符合题意；C选项，该分式的分子、分母中含有公因式$a - 1$，不是最简分式，不符合题意；D选项，该分式的分子、分母中含有公因式$a - 1$（或$1 - a$），不是最简分式，不符合题意.

10若$m$为实数，分式$\frac{x(x + 2)}{x^{2} + m}$不是最简分式，则$m =$________.

答案： 10. 0或 - 4 【解析】$\because$分式$\frac{x(x + 2)}{x^{2} + m}$不是最简分式，且$m$为实数，$\therefore m = 0$或 - 4.

11把下列分式化为最简分式.
（1）$\frac{x^{2} - 4y^{2}}{x^{2} - 5xy + 6y^{2}} =$________；
（2）$\frac{(m + n)(p - s)^{2}}{(m + n)^{2}(s - p)} =$________.

答案： 11. （1）$\frac{x + 2y}{x - 3y}$ （2）$\frac{s - p}{m + n}$ 【解析】（1）$\frac{x^{2} - 4y^{2}}{x^{2} - 5xy + 6y^{2}} = \frac{(x + 2y)(x - 2y)}{(x - 2y)(x - 3y)} = \frac{x + 2y}{x - 3y}$. （2）$\frac{(m + n)(p - s)^{2}}{(m + n)^{2}(s - p)} = \frac{s - p}{m + n}$.