《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. （17分）已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，对任意$x$，$y$都有$f(xy) = f(x)f(y) + f(x) + f(y)$，且当$x \gt 1$时，$f(x) \gt 0$.
（1）求$f(1)$；
（2）求证：函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；
（3）若$f( - 1) = 0$，$f(2) = 3$，解关于$x$的不等式$f(x - 1) \lt 15$.

答案： 18.[解析] 本题考查抽象函数的求值、单调性、奇偶性
(1)令$x ＞ 1$，$y = 1$，则$f(x)=f(x)f(1)+f(x)+f(1)$，则$f(1)[f(x)+1]=0$，由$f(x)＞0$得，$f(x)+1＞1$，故$f(1)=0$.
(2)证明：令$y=\frac{1}{x}$，则$f(x)f(\frac{1}{x})+f(x)+f(\frac{1}{x})=f(1)=0$，则$f(x)=\frac{-1}{f(\frac{1}{x})+1}-1$.若$x\in(0,1)$，则$\frac{1}{x}＞1$，所以$f(x)=\frac{-1}{f(\frac{1}{x})+1}-1\in(-1,0)$.所以$\forall x＞0$，$f(x)＞-1$.
(3)$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，令$y = -1$，由$f(-1)=0$，得$f(-x)=f(x)f(-1)+f(x)+f(-1)=f(x)$，所以$f(x)$为偶函数，则$f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增.由$f(2)=3$，得$f(4)=[f(2)]^2+2f(2)=15$，当$x - 1\neq0$，即$x\neq1$时，$f(x - 1)=f(\vert x - 1\vert)＜15=f(4)$，此时$\vert x - 1\vert＜4$，解得$x\in(-3,1)\cup(1,5)$.当$x - 1 = 0$，即$x = 1$时，由$f(0)=[f(0)]^2+2f(0)$，可得$f(0)=0$或$f(0)=-1$，此时$f(0)＜15$成立，所以$x = 1$符合不等式.综上，原不等式的解集为$(-3,5)$.

19. （17分）设函数$f(x) = a^{x} + k· a^{-x}$（$a \gt 0$，$a \neq 1$）是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数.
（1）求实数$k$的值；
（2）若$f(1) \lt 0$，试判断函数$f(x)$的单调性，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，不等式$f(t·9^{-|x + 1|} + 2) + f(4·3^{-|x + 1|}) \lt 0$对任意实数$x$均成立，求实数$t$的取值范围.

答案： 19.[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性、不等式恒成立问题
思路探寻：
(1)$f(x)$在$\mathbf{R}$上为奇函数$\rightarrow f(0)=0$，求出$k$的值；
(2)由$f(1)＜0$求得$a$的取值范围，用单调性定义证明$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减；
(3)根据函数单调性、奇偶性整理不等式分离参数结合二次函数性质$t·9^{-|x + 1|}+2＞-4·3^{-|x + 1|}$得解.
(1)因为$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，所以$f(0)=1 + k = 0$，$k = -1$，此时$f(x)=a^x - a^{-x}$，$f(-x)=a^{-x}-a^{x}=-f(x)$，满足$f(x)$是奇函数，所以$k = -1$.
(2)由
(1)得$f(x)=a^x - a^{-x}(a＞0,a\neq1)$，若$f(1)=a-\frac{1}{a}=\frac{a^2 - 1}{a}=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a}＜0$，则$0 ＜ a ＜ 1$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，证明如下：任取$x_1 ＜ x_2$，则$f(x_1)-f(x_2)=a^{x_1}-a^{-x_1}-(a^{x_2}-a^{-x_2})=a^{x_1}-a^{x_2}+a^{-x_2}-a^{-x_1}=a^{x_1}-a^{x_2}+\frac{1}{a^{x_2}}-\frac{1}{a^{x_1}}=(a^{x_1}-a^{x_2})(1+\frac{1}{a^{x_1}a^{x_2}})$，因为$x_1 ＜ x_2$，$0 ＜ a ＜ 1$，所以$a^{x_1}＞a^{x_2}＞0$，$a^{x_1}-a^{x_2}＞0$，所以$f(x_1)-f(x_2)＞0$，$f(x_1)＞f(x_2)$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减.
(3)由
(2)得$f(x)=a^x - a^{-x}(a＞0,a\neq1)$，$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，则不等式$f(t·9^{-|x + 1|}+2)＜-4·3^{-|x + 1|}$恒成立，即$f(t·9^{-|x + 1|}+2)＜f(-4·3^{-|x + 1|})$恒成立，由
(2)得$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递减，所以$t·9^{-|x + 1|}+2＞-4·3^{-|x + 1|}$，即$t＞\frac{-4·3^{-|x + 1|}-2}{9^{-|x + 1|}}=\frac{-4·3^{-|x + 1|}-2}{(3^{-|x + 1|})^2}=-2(\frac{1}{3^{-2|x + 1|}}+\frac{2}{3^{-|x + 1|}})=-2(3^{2|x + 1|}+2·3^{|x + 1|})$恒成立，令$u = 3^{|x + 1|}$，$\vert x + 1\vert\geq0$，则$u\geq1$，则函数$y = u^2 + 2u(u\geq1)$在$[1,+\infty)$上单调递增，所以函数$y = u^2 + 2u(u\geq1)$的最小值为$1^2 + 2×1 = 3$，所以$-2(3^{2|x + 1|}+2·3^{|x + 1|})$的最大值为$-2×3=-6$，所以$t ＞ -6$.故$t$的取值范围为$(-6,+\infty)$.
方法技巧：解决不等式恒成立问题时，将恒成立问题转化为求函数最值问题是关键.解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成$f(x_1)＞f(x_2)$或$f(x_1)＜f(x_2)$的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响.