《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. (17分)已知函数$f(x)=a^x(a＞0$，且$a\neq1)$的图象过点$(1,\frac{1}{2})$.
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)若函数$h(x)$为$f(x)$的反函数，且$h(x^2 - bx - 1)$在$(1,5)$上单调递减，求$b$的取值范围；
(3)若函数$f(x)=g(x)+m(x)$，其中$g(x)$为奇函数，$m(x)$为偶函数，已知函数$w(x)=|x|$，对任意$x_1\in[\frac{1}{2},1]$，都存在$x_2\in\mathbf{R}$，使得等式$2cg(x_1)+m(2x_1)=w(x_2)$成立，求实数$c$的取值范围.

答案： 18.[解析] 本题考查以指数函数为载体的函数性质的综合运用
(1)由函数f(x) = aˣ的图象过点(1,$\frac{1}{2}$),可得f
(1) = a¹ = $\frac{1}{2}$,解得a = $\frac{1}{2}$,故函数f(x)的解析式为f(x) = ($\frac{1}{2}$)ˣ.
(2)由
(1)知,f(x) = ($\frac{1}{2}$)ˣ,因为函数h(x)为f(x)的反函数,所以h(x) = log₁/₂x,易知h(x)在(0,+∞)上单调递减,又h(x² - bx - 1)在(1,5)上单调递减,所以函数y = x² - bx - 1在(1,5)上单调递增,所以$\begin{cases}\frac{b}{2}≤1\\1² - b - 1≥0\end{cases}$,解得b≤0,所以b的取值范围为(-∞,0].
(3)由
(1)知,f(x) = ($\frac{1}{2}$)ˣ,所以f(x) = g(x) + m(x) = ($\frac{1}{2}$)ˣ = 2⁻ˣ,所以f(-x) = g(-x) + m(-x) = 2ˣ,由g(x)为奇函数,m(x)为偶函数可知 - g(x) + m(x) = 2ˣ,可得g(x) = $\frac{2⁻ˣ - 2ˣ}{2}$,m(x) = $\frac{2⁻ˣ + 2ˣ}{2}$.因为w(x) = |x|,所以对任意x₂∈R都有w(x₂)≥0.因为对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$,1],都存在x₂∈R,使得等式2cg(x₁) + m(2x₁) = w(x₂)成立,所以2cg(x₁) + m(2x₁)≥0在[$\frac{1}{2}$,1]上恒成立.因为y = 2⁻ˣ在[$\frac{1}{2}$,1]上单调递减,y = 2ˣ在[$\frac{1}{2}$,1]上单调递增,所以g(x) = $\frac{2⁻ˣ - 2ˣ}{2}$在[$\frac{1}{2}$,1]上单调递减,所以g(x₁)∈[-$\frac{3}{4}$,-$\frac{\sqrt{2}}{4}$].令g(x₁) = t∈[-$\frac{3}{4}$,-$\frac{\sqrt{2}}{4}$],则m(2x₁) = $\frac{2⁻²ˣ₁ + 2²ˣ₁}{2}$ = $\frac{(2⁻ˣ₁)² + 2}{2}$ = $\frac{(2t)² + 2}{2}$ = 2t² + 1,则有2ct + 2t² + 1≥0在[-$\frac{3}{4}$,-$\frac{\sqrt{2}}{4}$]上恒成立,可得c≤ - $\frac{2t² + 1}{2t}$恒成立,因此c≤(-$\frac{2t² + 1}{2t}$)ₘᵢₙ,又 - $\frac{2t² + 1}{2t}$ = -(t + $\frac{1}{2t}$) = -t + $\frac{1}{-2t}$≥2$\sqrt{(-t)·\frac{1}{-2t}}$ = $\sqrt{2}$,当且仅当t = $\frac{1}{2t}$,即t = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,等号成立,所以c≤$\sqrt{2}$,因此实数c的取值范围为(-∞,$\sqrt{2}$].

19. (17分)将连续正整数1，2，3，$·s$，$n(n\in\mathbf{N}^*)$从小到大排列构成一个数$123·s n$，$F(n)$为这个数的位数.例如：当$n = 12$时，此数为123456789101112，共有15位，则$F(12)=15$.现从这个数中随机取一个数字，$P(n)$为恰好取到0的概率.
(1)求$P(101)$；
(2)当$n\leqslant2025$时，求$F(n)$的表达式；
(3)令$f(n)$为这个数中数字9的个数，$g(n)$为这个数中数字0的个数，$h(n)=f(n)-g(n)$，$S=\{n|h(n)=1,n\leqslant100,n\in\mathbf{N}^*\}$，求当$n\in S$时，$P(n)$的最大值.

答案： 19.[解析] 本题考查与概率有关的新定义问题
(1)由题意,当n = 101时,有F
(101) = 9 + 90×2 + 3×2 = 195,即这个数共有195位数,其中数字0的个数为12,所以恰好取到0的概率P
(101) = $\frac{12}{195}$ = $\frac{4}{65}$.
(2)当1≤n≤9时,这个数由n个一位数组成,F(n) = n;当10≤n≤99时,这个数由9个一位数,(n - 9)个两位数组成,F(n) = 2n - 9;当100≤n≤999时,这个数由9个一位数,90个两位数,(n - 99)个三位数组成,F(n) = 3n - 108;当1000≤n≤2025时,这个数由9个一位数,90个两位数,900个三位数,(n - 999)个四位数组成,F(n) = 4n - 1107.
综上,F(n) = $\begin{cases}n,1≤n≤9\\2n - 9,10≤n≤99\\3n - 108,100≤n≤999\\4n - 1107,1000≤n≤2025\end{cases}$(n∈N*).
(3)当n = b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n) = 0;当n = 10k + b(1≤k≤9,1≤b≤9,k∈N*,b∈N*)时,g(n) = k;当n = 100时,g(n) = 11.所以g(n) = $\begin{cases}0,1≤n≤9\\k,n = 10k + b(1≤k≤9,1≤b≤9,k∈N*,b∈N*)\\11,n = 100\end{cases}$,同理可得f(n) = $\begin{cases}0,1≤n≤8\\k,n = 10k + b - 1(1≤k≤8,1≤b≤9,k∈N*,b∈N*)\\n - 80,89≤n≤98\\20,n = \{99,100\}\end{cases}$,所以若n≤100,n∈N*,h(n) = f(n) - g(n) = 1,则n = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,则S = {9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n = 9时,P
(9) = 0;当n = 90时,P
(90) = $\frac{9}{171}$ = $\frac{1}{19}$;当n = 10k + 9(1≤k≤8,k∈N*)时,P(n) = $\frac{k}{2n - 9}$ = $\frac{k}{20k + 9}$,易知函数y = $\frac{k}{20k + 9}$关于k单调递增,所以当n = 10k + 9(1≤k≤8,k∈N*)时,P(n)的最大值为P
(89) = $\frac{8}{169}$.又$\frac{8}{169}$＜$\frac{1}{19}$,所以当n∈S时,P(n)的最大值为$\frac{1}{19}$.