《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

1. 若 $A$，$B$ 是全集 $I$ 的真子集，则下列四个命题：
①$A\cap B = A$；②$A\cup B = A$；③$A\cap (\complement_{I}B)=\varnothing$；④$A\cap B = I$. 其中与命题 $A\subseteq B$ 等价的有（ ）

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案：
1.B 本题考查集合间的基本关系 由A⊆B得Venn图，如图:

①A∩B = A⇔A⊆B；②A∪B = A⇔B⊆A；③A∩(∁IB)=∅⇔A⊆B；④A∩B = I与A,B是全集I的真子集相矛盾。故与命题A⊆B等价的有①③，共2个。故选B。

2. 函数 $y = \sin\left(-\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期为（C）
A.$\pi$
B.$2\pi$
C.$4\pi$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： 2.C 本题考查三角函数的周期 y = sin(-$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$) = -sin($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$)，可得函数的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$ = 4π，故选C。

3. 已知 $x$，$y$ 均为正实数，且 $\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{y + 2}=\frac{1}{6}$，则 $x + y$ 的最小值为（20）
A.20
B.24
C.28
D.32

答案： 3.A 本题考查利用基本不等式求最值 因为x,y均为正实数，且$\frac{1}{x + 2}$+$\frac{1}{y + 2}$=$\frac{1}{6}$，则6($\frac{1}{x + 2}$+$\frac{1}{y + 2}$) = 1，所以x + y=(x + 2)+(y + 2)-4 = 6($\frac{1}{x + 2}$+$\frac{1}{y + 2}$)[(x + 2)+(y + 2)]-4 = 6(2+$\frac{y + 2}{x + 2}$+$\frac{x + 2}{y + 2}$)-4≥6(2 + 2$\sqrt{\frac{y + 2}{x + 2}·\frac{x + 2}{y + 2}}$)-4 = 20，当且仅当x = y = 10时取等号，所以x + y的最小值为20。故选A。
名师点评
基本不等式中“1”的妙用，常用于解决含有以下特征的问题：
1.两个变量都是正数；
2.有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式为ax + by，$\frac{m}{x}$+$\frac{n}{y}$或其变形。

4. 已知 $\tan\alpha=\frac{1}{3}$，则 $\sin2\alpha=$（B）
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{1}{10}$

答案： 4.B 本题考查三角恒等变换 由tanα=$\frac{1}{3}$知，sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$或sinα=-$\frac{1}{\sqrt{10}}$，cosα=-$\frac{3}{\sqrt{10}}$，则sin2α = 2sinαcosα=$\frac{3}{5}$，故选B。
方法技巧
sin2α = 2sinαcosα=$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}$=$\frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha}$·$\frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^{2}\alpha}$；类似地，可以得到cos2α=cos²α - sin²α=$\frac{1 - \tan^{2}\alpha}{1 + \tan^{2}\alpha}$；又tan2α=$\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$。以上三个公式为常用的三角万能公式。

5. 给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若 $\sin\alpha=\sin\beta$，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边相同；④若 $\cos\theta\lt0$，则 $\theta$ 是第二或第三象限角. 其中正确的命题个数是（A）
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 5.A 本题考查任意角与弧度制的相关概念 对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①不正确；对于②，根据角的定义知，不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，②正确；对于③，若sinα=sinβ，则α与β的终边相同，或关于y轴对称，③不正确；对于④，若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限角，或终边在x轴负半轴上，④不正确。综上，其中正确的命题是②，只有1个。故选A。

6. 下列各组函数中，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象相同的是（B）
A.$f(x)=x$，$g(x)=(\sqrt{x})^{2}$
B.$f(x)=\vert x\vert$，$g(x)=\begin{cases}x,x\geq0,\\-x,x\lt0\end{cases}$
C.$f(x)=1$，$g(x)=x^{0}$
D.$f(x)=x^{2}$，$g(x)=(x + 1)^{2}$

答案： 6.B 本题考查同一个函数的判定 对于A，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0,+∞)，故排除A；对于B，函数f(x)=$\begin{cases}x,x\geqslant0\\ -x,x＜0\end{cases}$与g(x)的定义域、解析式相同，故B正确；对于C，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，故排除C；对于D，f(x)与g(x)的解析式不相同，故排除D。故选B。

7. 已知函数 $f(x)=\log_{3}x$ 的图象与函数 $g(x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，函数 $h(x)$ 是满足 $h(x + 2)=h(x)$ 的偶函数，且当 $x\in[0,1]$ 时，$h(x)=g(x)-1$，若函数 $y = k· f(x)+h(x)$ 有 3 个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）

A.$(1,2\log_{7}3)$
B.$(-2,-2\log_{5}3)$
C.$(-2\log_{5}3,-1)$
D.$\left(-\log_{7}3,-\frac{1}{2}\right)$

答案：
7.B 本题考查函数的性质与图象、反函数 由函数f(x)=log₃x的图象与函数g(x)的图象关于直线y = x对称，得g(x)=3ˣ。由题意得函数h(x)是最小正周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，h(x)=g(x)-1 = 3ˣ-1，函数y = k·f(x)+h(x)有3个零点，即klog₃x=-h(x)有3个不同实根，
画出函数y = klog₃x与y = -h(x)的图象，如图，

要使函数y = klog₃x与y = -h(x)的图象有3个交点，则k＜0，且$\begin{cases}k\log_{3}3＞-2\\k\log_{3}5＜-2\end{cases}$，解得-2＜k＜-2log₅3。所以实数k的取值范围是(-2,-2log₅3)。故选B。
名师点评
判断函数的零点个数的方法
1.直接求出函数的零点进行判断；
2.转化为方程，求出方程的解的个数，即零点的个数，多用于二次函数；
3.转化为两个函数图象交点的个数，即零点的个数。

8. 设函数 $f(x)=\begin{cases}3^{x}-2,x\gt0,\\-3^{-x}+2,x\lt0,\end{cases}$ 则下列结论错误的是（D）
A.函数 $f(x)$ 的值域为 $\mathbf{R}$
B.函数 $f(x)$ 是奇函数
C.$f(\vert x\vert)$ 是偶函数
D.$f(x)$ 在定义域上是单调函数

答案： 8.D 本题考查分段指数函数的性质 当x＞0时，f(x)=3ˣ-2单调递增，所以f(x)＞f
(0)=-1，当x＜0时，f(x)=-3⁻ˣ+2单调递增，所以f(x)＜f
(0)=1，所以f(x)的值域为(-∞,1)∪(-1,+∞)=R，故A正确；又f(-log₃2)=-3log₃²+2 = -2 + 2 = 0，f(log₃2)=3log₃²-2 = 2 - 2 = 0，所以f(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数，故D错误；当x＞0时，-x＜0，所以f(-x)=-3⁻⁽⁻ˣ⁾+2=-3ˣ+2=-(3ˣ-2)=-f(x)，当x＜0时，-x＞0，所以f(-x)=3⁻ˣ-2=-(-3⁻ˣ+2)=-f(x)，所以f(-x)=-f(x)在定义域内恒成立，所以f(x)为奇函数，故B正确；因为f(|-x|)=f(|x|)恒成立，所以函数f(|x|)为偶函数，故C正确。故选D。

9. 给出下列四个命题，其中正确的命题有（BD）
A.$\tan4·\cos2·\sin\left(-\frac{23\pi}{4}\right)$ 的符号为正
B.函数 $y = \sqrt{\cos x·\tan x}$ 的定义域为 $\left[2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\pi + 2k\pi\right]$，$k\in\mathbf{Z}$
C.若 $\theta\in(0,\pi)$，$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，则 $\tan\theta=-\sqrt{3}$ 或 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\cos(\alpha-\pi)}{\sin(\pi-\alpha)}·\tan(\pi+\alpha)=-1$

答案： 9.BD 本题考查三角函数的性质、同角三角函数的基本关系、诱导公式 对于A，因为π＜4＜$\frac{3π}{2}$，所以tan4＞0，因为$\frac{π}{2}$＜2＜π，所以cos2＜0，因为sin(-$\frac{23π}{4}$) = sin(-6π+$\frac{π}{4}$)=sin$\frac{π}{4}$＞0，所以tan4·cos2·sin(-$\frac{23π}{4}$)的符号为负，故A不正确；对于B，由cos x tan x≥0得sin x≥0且x是终边不在y轴上的角，所以2kπ≤ x＜2kπ+$\frac{π}{2}$或2kπ+$\frac{π}{2}$＜x≤2kπ+π，k∈Z，所以函数y=$\sqrt{\cos x·\tan x}$的定义域为[2kπ,$\frac{π}{2}$+2kπ)∪($\frac{π}{2}$+2kπ,π + 2kπ]，k∈Z，故B正确；对于C，由sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，得(sinθ+cosθ)² = $\frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}$，得sinθcosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，又因为θ∈(0,π)，sinθ＞0，所以cosθ＜0，所以sinθ - cosθ＞0，所以sinθ - cosθ=$\sqrt{(\sin\theta-\cos\theta)^{2}}$=$\sqrt{1 - 2\sin\theta\cos\theta}$ = $\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，所以sinθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=-$\frac{1}{2}$，所以tanθ=$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$=-$\sqrt{3}$，故C不正确；对于D，$\frac{\cos(\alpha-\pi)}{\sin(\pi-\alpha)}$·tan(π + α)=-$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$·tanα=-1，故D正确。故选BD。