《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

1. 已知集合 $ A = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 1 \} $，$ B = \{ - 2, - 1, 0, 1, 2 \} $，则集合 $ A \cap B = $（{−1,0}）
A.$ \{ - 1, 0 \} $
B.$ \{ 0 \} $
C.$ \{ 0, 1 \} $
D.$ \{ - 1, 0, 1 \} $

答案： 1.A 本题考查交集的定义及运算 因为集合A={x|−2＜x＜1},B={−2,−1,0,1,2},所以A∩B={−1,0}.故选A.

2. 已知函数 $ f ( 2 x + 1 ) = x ^ { 2 } + 1 $，则 $ f ( 3 ) = $（2）
A.1
B.2
C.4
D.6

答案： 2.B 本题考查函数值的求解 因为f(2x + 1)=x² + 1,令t = 2x + 1,则x=$\frac{t - 1}{2}$,f(t)=($\frac{t - 1}{2}$)² + 1,即f(x)=($\frac{x - 1}{2}$)² + 1,所以f
(3)=2.故选B.

3. “$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 0 $”是“$ x y = 0 $”的（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件

答案： 3.A 本题考查充分条件与必要条件 因为由x² + y² =0,可得x = y = 0,由xy = 0,可得x = 0或y = 0,所以x² + y² = 0⇒ xy = 0,但x² + y² = 0⇐ xy = 0,所以x² + y² = 0是xy = 0的充分不必要条件.故选A.

4. 已知函数 $ f ( x ) $ 的定义域为 $ ( 0, 1 ) $，则函数 $ f ( 2 x - 1 ) $ 的定义域为（D）
A.$ ( 0, 1 ) $
B.$ ( - 1, 1 ) $
C.$ ( - 1, 0 ) $
D.$ \left( \frac { 1 } { 2 }, 1 \right) $

答案： 4.D 本题考查抽象函数的定义域及其求法 因为函数f(x)的定义域为(0, 1),所以0 ＜ 2x - 1 ＜ 1,解得$\frac{1}{2}$ ＜x ＜ 1,所以函数f(2x - 1)的定义域为($\frac{1}{2}$, 1).故选D.

5. 若函数 $ f ( x ) $ 是定义在 $ \mathbf { R } $ 上的偶函数，且在区间 $ [ 0, + \infty ) $ 上单调递增，则下列关系成立的是（B）
A.$ f ( - 3 ) ＞ f ( 0 ) ＞ f ( 1 ) $
B.$ f ( - 3 ) ＞ f ( 1 ) ＞ f ( 0 ) $
C.$ f ( 1 ) ＞ f ( 0 ) ＞ f ( - 3 ) $
D.$ f ( 1 ) ＞ f ( - 3 ) ＞ f ( 0 ) $

答案： 5.B 本题考查函数的奇偶性与单调性 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-3)=f
(3),又f(x)在区间[0, +∞)上单调递增,所以f(-3)=f
(3)＞f
(1)＞f
(0).故选B.

6. 若关于 $ x $ 的不等式 $ x ^ { 2 } + a x - 2 ＞ 0 $ 在区间 $ [ 1, 5 ] $ 上有解，则实数 $ a $ 的取值范围是（C）
A.$ \left( - \frac { 23 } { 5 }, 1 \right] $
B.$ \left( - \infty, - \frac { 23 } { 5 } \right) $
C.$ \left( - \frac { 23 } { 5 }, + \infty \right) $
D.$ ( 1, + \infty ) $

答案： 6.C 本题考查一元二次不等式及其应用 因为关于x的不等式x² + ax - 2 ＞ 0在区间[1, 5]上有解,所以a ＞$\frac{2}{x}$ - x在区间[1, 5]上有解,所以a ＞ ($\frac{2}{x}$ - x)min.设f(x)=$\frac{2}{x}$ - x,x∈[1, 5],易知f(x)在区间[1, 5]上单调递减,所以f(x)有最小值,为f
(5)=$\frac{2}{5}$ - 5=−$\frac{23}{5}$,所以实数a的取值范围是(−$\frac{23}{5}$, +∞).故选C.
方法技巧
有解或能成立问题可以转化为m ＞ ymin或m ＜ ymax的形式,从而把求参数的取值范围问题转化为求y的最小值或最大值问题.

7. 已知 $ m + \mathrm { e } ^ { m } = \mathrm { e } $，$ n + 5 ^ { n } = \mathrm { e } $，则下列选项正确的是（ ）

A.$ 0 ＜ m ＜ n ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ n ＜ m ＜ 1 $
C.$ 1 ＜ m ＜ n ＜ \mathrm { e } $
D.$ 1 ＜ n ＜ m ＜ \mathrm { e } $

答案：
7.B 本题考查函数的单调性 构造函数f(x)=x + ex,g(x)=x + 5x,则f(m)=m + em = e,g(n)=n + 5n = e,易知函数f(x),g(x)在其定义域内均为增函数,画出函数f(x),g(x)与函数y = e的大致图象,如图所示.由图可知,0 ＜ n ＜ m.又f
(1)=1 + e ＞ f(m),g
(1)=1 + 5 ＞ g(n),所以m ＜ 1,n ＜ 1.综上,0 ＜ n ＜ m ＜ 1.故选B.

8. 设函数 $ f ( x ) = \sqrt { a x ^ { 2 } - 2 a x } ( a ＜ 0 ) $ 的定义域为 $ D $，对于任意 $ m, n \in D $，若所有点 $ P ( m, f ( n ) ) $ 构成一个正方形区域，则实数 $ a $ 的值为（D）
A.$ - 1 $
B.$ - 2 $
C.$ - 3 $
D.$ - 4 $

答案： 8.D 本题考查函数定义域及函数最值的求法
思路探寻
确定f(x)的定义域 \begin{cases} 确定y = x² - 2x在[0, 2]上的单调性 \\ f(x)=\sqrt{ax² - 2ax}在x = 1处取得最大值\sqrt{-a} \\ 结合已知条件列出关于a的方程 \end{cases}⇒ 得解.
由已知可得,ax² - 2ax≥0.因为a ＜ 0,所以x² - 2x≤0,解得0≤ x≤2,所以D = [0, 2].因为y = x² - 2x在[0, 1]上单调递减,在[1, 2]上单调递增,所以y = x² - 2x在x = 1处取得最小值 -1,所以y = a(x² - 2x)在x = 1处取得最大值 -a,所以函数f(x)=$\sqrt{ax² - 2ax}$在x = 1处取得最大值$\sqrt{-a}$.因为f
(0)=f
(2)=0,所有点P(m, f(n))构成一个正方形区域,所以$\sqrt{-a} = 2$,所以a = -4.故选D.

9. 已知 $ x, y $ 都为正数，且 $ 2 x + y = 1 $，则下列说法正确的是（ABD）
A.$ 2 x y $ 的最大值为 $ \frac { 1 } { 4 } $
B.$ 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 的最小值为 $ \frac { 1 } { 2 } $
C.$ x ( x + y ) $ 的最大值为 $ \frac { 1 } { 4 } $
D.$ \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { y } $ 的最小值为 $ 3 + 2 \sqrt { 2 } $

答案： 9.ABD 本题考查基本不等式及其应用 对于A,因为x ＞ 0,y ＞ 0,2x + y = 1,所以2xy≤$\frac{(2x + y)²}{4}$=$\frac{1}{4}$,当且仅当2x = y且2x + y = 1,即x = $\frac{1}{4}$,y = $\frac{1}{2}$时,等号成立,即2xy的最大值为$\frac{1}{4}$,故A正确.对于B,由A可知,xy≤$\frac{1}{8}$,所以4x² + y²=(2x + y)² - 4xy = 1 - 4xy≥1 - 4×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$,当且仅当x = $\frac{1}{4}$,y = $\frac{1}{2}$时,等号成立,即4x² + y²的最小值为$\frac{1}{2}$,故B正确.对于C,因为x ＞ 0,y ＞ 0,2x + y = 1,所以x(x + y)≤[x + (x + y)]²$\frac{(2x + y)²}{4}$=$\frac{1}{4}$,当且仅当x = x + y且2x + y = 1,即x = $\frac{1}{2}$,y = 0时,等号成立,因为y ＞ 0,所以x(x + y)取不到$\frac{1}{4}$,则x(x + y)不存在最大值,故C错误.对于D,因为x ＞ 0,y ＞ 0,2x + y = 1,所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})(2x + y)=2 + \frac{y}{x} + \frac{2x}{y} + 1≥2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{2x}{y}} + 3 = 2\sqrt{2} + 3$,当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$且2x + y = 1,即x = $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$,y = $\sqrt{2} - 1$时,等号成立,即$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的最小值为2$\sqrt{2} + 3$,故D正确.故选ABD.
一题多解
因为x ＞ 0,y ＞ 0,2x + y = 1,所以$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}=\frac{2x + y}{x} + \frac{2x + y}{y}=2 + \frac{y}{x} + \frac{2x}{y} + 1=3 + \frac{y}{x} + \frac{2x}{y}\geq3 + 2\sqrt{2}$,当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$且2x + y = 1,即x = 1 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$,y = $\sqrt{2} - 1$时,等号成立,则$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$的最小值为3 + 2$\sqrt{2}$,故D正确.故选ABD.
方法总结
利用基本不等式求最值的两种常用方法
(1)拼凑法,利用拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值,利用基本不等式求解最值时,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意验证等号成立的条件.
(2)常数代换法
①通过已知条件或其变形确定常数;②把该常数变形为“1”;③把“1”的表达式和所求最值的表达式相乘或相除,构造和式或积式为定值的式子;④利用基本不等式求解最值.