《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. （17分）已知函数$f(x)=\lg(1 + x)+k\lg(1 - x)$.从下面两个条件中选择一个求出$k$，并解不等式$f(x)＜-1$.
①函数$f(x)$是偶函数；
②函数$f(x)$是奇函数.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案： 18.[解析] 本题考查利用函数性质解不等式
根据题意，易得函数$f(x)$的定义域为$(-1,1)$.
选择①：因为$f(x)$为偶函数，
所以$f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})$，
即$\lg\frac{1}{2}+k\lg\frac{3}{2}=\lg\frac{3}{2}+k\lg\frac{1}{2}$，解得$k = 1$.
经检验，$k = 1$符合题设，
故$f(x)=\lg(1 + x)+\lg(1 - x)=\lg(1 - x^2),x\in(-1,1)$，
则$f(x)＜-1$即$\lg(1 - x^2)＜\lg\frac{1}{10}$，
所以$\begin{cases}-1＜x＜1,\\1 - x^2＜\frac{1}{10},\end{cases}$
解得$-1＜x＜-\frac{3\sqrt{10}}{10}$或$\frac{3\sqrt{10}}{10}＜x＜1$，
故不等式$f(x)＜-1$的解集为$(-1,-\frac{3\sqrt{10}}{10})\cup(\frac{3\sqrt{10}}{10},1)$.
选择②：因为函数$f(x)$为奇函数，
所以$f(-\frac{1}{2})=-f(\frac{1}{2})$，
即$\lg\frac{1}{2}+k\lg\frac{3}{2}=-\lg\frac{3}{2}-k\lg\frac{1}{2}$，
解得$k=-1$.
经检验，$k = -1$符合题设，
故$f(x)=\lg(1 + x)-\lg(1 - x)=\lg\frac{1 + x}{1 - x},x\in(-1,1)$，
则$f(x)＜-1$即$\lg\frac{1 + x}{1 - x}＜\lg\frac{1}{10}$，
所以$\begin{cases}-1＜x＜1,\frac{1 + x}{1 - x}＜\frac{1}{10},\end{cases}$
解得$-1＜x＜-\frac{9}{11}$，
故不等式$f(x)＜-1$的解集为$\{x|-1＜x＜-\frac{9}{11}\}$.
（选择一个答案即可）
易错警示
本题在求解不等式的解集过程中容易忽视函数定义域对$x$的限制.

19. （17分）随着科技的发展，手机上各种App层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件.抖音是一个帮助用户表达自我、记录美好生活的视频平台.抖音上商品的价格随着播放的热度而变化.经测算某服装的价格近似满足关系式：$J = J_{b}+(J_{0}-J_{b})(\frac{1}{2})^{\frac{t}{h}}$，其中$J_{0}$（单位：元）表示开始卖时的服装价格，$J$（单位：元）表示经过一定时间$t$（单位：天）后的价格，$J_{b}$（单位：元）表示波动价格，$h$（单位：天）表示波动周期.某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到每件70元时需要10天时间.
（1）求$h$的值；
（2）求服装价格降到每件60元时需要的天数.（参考数据：$\lg2\approx0.3010$，结果精确到1）

答案： 19.[解析] 本题考查数学建模、函数的实际应用
(1)在$J = J_b+(J_0 - J_b)(\frac{1}{2})^{\frac{t}{h}}$中，$J_b = 20$，$J_0 = 120$，当$J = 70$时，$t = 10$，
则有$70 = 20+(120 - 20)(\frac{1}{2})^{\frac{10}{h}}$，
整理得$(\frac{1}{2})^{\frac{10}{h}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{10}{h}=1$，
解得$h = 10$，
所以$h$的值为10.
(2)由
(1)知，$J = 20+100(\frac{1}{2})^{\frac{t}{10}}$，
当$J = 60$时，$20+100(\frac{1}{2})^{\frac{t}{10}}=60$，
即有$(\frac{1}{2})^{\frac{t}{10}}=\frac{2}{5}$，
两边同时取常用对数得$\frac{t}{10}\lg\frac{1}{2}=\lg\frac{2}{5}$，
解得$t = 10×\frac{\lg5 - \lg2}{\lg2}=10×(\frac{1 - \lg2 - \lg2}{\lg2})=10×(\frac{1 - 2\lg2}{\lg2})\approx10×(\frac{1 - 2×0.3010}{0.3010})\approx10×(\frac{0.398}{0.3010})\approx13.22$，
而$t\in\mathbf{N}^*$，故$t = 14$，
所以服装价格降到每件60元时需要14天.