《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

16. (15 分)已知函数 $ f(x)=\frac{x}{x^2 + 4},x\in(-2,2) $.
(1)若 $ f(a)=\frac{1}{3a} $，求实数 $ a $ 的值；
(2)判断 $ f(x) $ 的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：函数 $ f(x) $ 在 $ (-2,2) $ 上单调递增.

答案： 16.[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性
(1)因为$f(a)=\frac{1}{3a}，$所以$\frac{a}{a^2+4}=\frac{1}{3a}，$
整理得$a^2=2，$解得$a=±\sqrt{2}.$
经检验，$a=±\sqrt{2}$是原方程的根且a∈(−2,2)，
所以实数a的值为$±\sqrt{2}.$
(2)f(x)为奇函数.
理由如下：f(x)的定义域(−2,2)关于原点对称，
∀x∈(−2,2)，$f(−x)=\frac{−x}{(−x)^2+4}=\frac{−x}{x^2+4}=−\frac{x}{x^2+4}=−f(x)，$
所以f(x)为奇函数.
(3)证明：任取$x_1，$$x_2∈(−2,2)，$且$x_1＜x_2，$
则$f(x_1)−f(x_2)=\frac{x_1}{x_1^2+4}−\frac{x_2}{x_2^2+4}=$
$\frac{x_1(x_2^2+4)−x_2(x_1^2+4)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}=\frac{(x_2−x_1)(x_1x_2−4)}{(x_1^2+4)(x_2^2+4)}.$
因为−2＜x_1＜x_2＜2，所以x_2−x_1＞0，$x_1x_2＜4，$
又$(x_1^2+4)(x_2^2+4)＞0，$
所以$f(x_1)−f(x_2)＜0，$即$f(x_1)＜f(x_2)，$
所以f(x)在(−2,2)上单调递增.

17. (15 分)已知函数 $ f(x)=ax^2 + bx + 2,a,b\in\mathbf{R} $.
(1)若 $ f(x)\lt 0 $ 的解集为 $ \{x|1\lt x\lt 2\} $，求 $ f(x) $ 在 $ [1,3] $ 上的最大值和最小值；
(2)若 $ f(1)=3 $，求不等式 $ f(x)\lt 4 - x $ 的解集.

答案： 17.[解析] 本题考查一元二次方程、一元二次不等式
和二次函数的关系及含参数的一元二次不等式的解法
(1)若f(x)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
则$ax^2+bx+2=0$的两根为1,2，且a＞0，
则$\begin{cases}−\frac{b}{a}=1+2=3,\frac{2}{a}=1×2=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=−3,\end{cases}$
所以$f(x)=x^2−3x+2.$
易知$f(x)=x^2−3x+2$的图象开口向上，对称轴为直
线$x=\frac{3}{2}，$根据二次函数图象的对称性可知：
f(x)在[1,3]上的最大值为f
(3)=2，最小值为
$f(\frac{3}{2})=−\frac{1}{4}.$
(2)因为f
(1)=a+b+2=3，所以b=1−a，
可得$f(x)=ax^2+(1−a)x+2.$
不等式f(x)＜4−x等价于$ax^2+(2−a)x−2＜0，$即
(ax+2)(x−1)＜0.
若a=0，则不等式等价于2(x−1)＜0，解得x＜1；
若a＞0，则$−\frac{2}{a}＜1，$解得$−\frac{2}{a}＜x＜1；$
若a≤−2，则$−\frac{2}{a}≤1，$解得$x＜−\frac{2}{a}$或x＞1；
若−2＜a＜0，则$−\frac{2}{a}＞1，$解得x＜1或$x＞−\frac{2}{a}.$
综上所述，当a≤−2时，不等式的解集为
$(−∞,−\frac{2}{a})∪(1,+∞)；$当−2＜a＜0时，不等式的
解集为$(−∞,1)∪(−\frac{2}{a},+∞)；$当a=0时，不等式的解集
为(−∞,1)；当a＞0时，不等式的解集为
$(−\frac{2}{a},1).$