《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

16. （15 分）已知函数 $ f ( x ) = a - \frac { 2 } { 3 ^ { x } - 1 } $ 是奇函数。
（1）求实数 $ a $ 的值，并说明理由；
（2）求函数 $ f ( x ) $ 的值域。

答案： 16.[解析] 本题考查已知奇偶性求参数、函数的值域
(1)$a = -1$，理由如下.因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)+f(x)=a - \frac{2}{3^{-x} - 1} + a - \frac{2}{3^x - 1} = 2a + \frac{2×3^x}{3^x - 1} - \frac{2}{3^x - 1} = 2a + 2 = 0$，解得$a = -1$.
(2)由
(1)得$f(x)= -1 - \frac{2}{3^x - 1} = -1 + \frac{2}{1 - 3^x}$，$3^x \gt 0$且$3^x \neq 1$.
当$0 \lt 3^x \lt 1$时，$0 \lt 1 - 3^x \lt 1$，$\frac{2}{1 - 3^x} \gt 2$，所以$f(x) \gt 1$；当$3^x \gt 1$时，$1 - 3^x \lt 0$，$\frac{2}{1 - 3^x} \lt 0$，所以$f(x) \lt -1$.
综上，$f(x)$的值域是$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$.

17. （15 分）由于医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 $ A $ 公司扩大生产提供 $ x ( x \in [ 0, 10 ] ) $（万元）的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服，$ A $ 公司在收到政府 $ x $ 万元补贴后，防护服的产量 $ t = k · \left( 6 - \frac { 12 } { x + 4 } \right) $（万件），其中 $ k ( k \in [ 0.5, 1 ] ) $ 为工厂工人的复工率，$ A $ 公司生产 $ t $ 万件防护服需投入成本 $ ( 20 + 9 x + 50 t ) $ 万元。
（1）将 $ A $ 公司生产防护服的利润 $ y $（万元）表示为补贴 $ x $（万元）的函数（政府补贴的 $ x $ 万元计入公司收入）（$ k $ 为参数）；
（2）当复工率 $ k = 0.8 $ 时，政府补贴多少万元才能使 $ A $ 公司生产的防护服的利润达到最大？并求出最大值。

答案： 17.[解析] 本题考查函数的实际应用
(1)由题意得$y = x + 80t - (20 + 9x + 50t) = 30t - 8x - 20 = 30k(6 - \frac{12}{x + 4}) - 8x - 20 = 180k - \frac{360k}{x + 4} - 8x - 20$，即$y = 180k - \frac{360k}{x + 4} - 8x - 20$，$x\in[0,10]$，$k\in[0.5,1]$.
(2)由$k = 0.8$，得$y = 144 - \frac{288}{x + 4} - 8x - 20 = - \frac{288}{x + 4} - 8x + 124$，因为$\frac{288}{x + 4} + 8x = \frac{288}{x + 4} + 8(x + 4) - 32 \geq 2\sqrt{\frac{288}{x + 4} · 8(x + 4)} - 32 = 2×48 - 32 = 64$，当且仅当$\frac{288}{x + 4} = 8(x + 4)$，即$x = 2$时取等号，所以$y \leq -64 + 124 = 60$.故当复工率$k = 0.8$时，政府补贴$2$万元才能使A公司生产的防护服的利润达到最大，最大值为$60$万元.