《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

1. 已知集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } - 4 x + 3 \leq 0 \} $，$ B = \{ x | y = \sqrt { 16 - x ^ { 2 } } \} $，则 $ A \cap B = $（[1,3]）
A.$[ - 4, 3 ]$
B.$[ 1, 3 ]$
C.$[ - 4, 4 ]$
D.$[ - 3, - 1 ]$

答案： 1.B本题考查一元二次不等式的解法、集合的运算　由$x^2 -4x +3\leq0$，解得$1\leq x\leq3$，由$16 - x^2\geq0$，解得$-4\leq x\leq4$，所以$A\cap B = [1,3]$。故选B。

2. “$ x = 2 k \pi + \frac { \pi } { 3 }, k \in \mathbf { Z } $”是“$ \sin x = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $”的（A）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.A本题考查充分必要条件的判断　若$x = 2k\pi+\frac {\pi}{3}$，$k\in Z$，则$\sin x = \sin(2k\pi+\frac {\pi}{3})=\frac {\sqrt{3}}{2}$，充分性成立；若$\sin x=\frac {\sqrt{3}}{2}$，则$x = 2k\pi+\frac {\pi}{3}$或$x = 2k\pi+\frac {2\pi}{3}$，$k\in Z$，必要性不成立。所以“$x = 2k\pi+\frac {\pi}{3},k\in Z$”是“$\sin x=\frac {\sqrt{3}}{2}$”的充分不必要条件。故选A。

3. 在平面直角坐标系 $ x O y $ 中，角 $ \alpha $ 以 $ O x $ 为始边，它的终边经过点 $ P ( 5, 12 ) $，则 $ \cos \alpha = $（B）
A.$ - \frac { 5 } { 13 } $
B.$ \frac { 5 } { 13 } $
C.$ - \frac { 12 } { 13 } $
D.$ \frac { 12 } { 13 } $

答案： 3.B本题考查三角函数的定义　由角$\alpha$的终边经过点$P(5,12)$，可得$r = |OP|=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$，根据三角函数的定义，可得$\cos\alpha=\frac {5}{13}$。故选B。

4. 如图，在平行四边形 $ A B C D $ 中，$ \overrightarrow { A B } = \boldsymbol { a } $，$ \overrightarrow { A D } = \boldsymbol { b } $，$ E $ 是 $ C D $ 边上一点，且 $ D E = 2 E C $，则 $ \overrightarrow { A E } = $（D）

A.$ \boldsymbol { a } + \frac { 1 } { 3 } \boldsymbol { b } $
B.$ \boldsymbol { a } + \frac { 2 } { 3 } \boldsymbol { b } $
C.$ \frac { 1 } { 3 } \boldsymbol { a } + \boldsymbol { b } $
D.$ \frac { 2 } { 3 } \boldsymbol { a } + \boldsymbol { b } $

答案： 4.D本题考查用已知向量表示其他向量、相等向量、向量的加法　由题意得$\overrightarrow{DE}=\frac {2}{3}\overrightarrow{DC}=\frac {2}{3}\overrightarrow{AB}$，所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac {2}{3}\overrightarrow{AB}=\frac {2}{3}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$。故选D。

5. 若函数 $ y = a ^ { x } ( a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 ) $ 的图象过点 $ \left( \frac { 1 } { 2 }, \frac { 1 } { 3 } \right) $，则函数 $ y = \log _ { a } | x | $ 的大致图象是（B）

答案： 5.B本题考查指数函数、对数函数的图象　由于函数$y = a^x(a＞0$，且$a\neq1)$的图象过点$(\frac {1}{2},\frac {1}{3})$，故$\frac {1}{3}=a^{\frac {1}{2}}$，所以$a=\frac {1}{9}$，则$y = \log_{\frac {1}{9}}|x| = \begin{cases}\log_{\frac {1}{9}}x,x＞0,\\\log_{\frac {1}{9}}(-x),x＜0,\end{cases}$该函数为偶函数，图象关于$y$轴对称，经过点$(-1,0)$和$(1,0)$，且函数在$(0,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,0)$上单调递增，只有B中图象符合该函数图象特点。故选B。

6. 已知 $ f ( x ) = m ( x - 2 m ) ( x + m + 3 ) $，$ g ( x ) = 3 ^ { x } - 3 $，若命题“$ \forall x \in \mathbf { R } $，$ f ( x ) ＜ 0 $ 或 $ g ( x ) ＜ 0 $”为真命题，则实数 $ m $ 的取值范围是（B）
A.$ \left( - 4, \frac { 1 } { 2 } \right) $
B.$ ( - 4, 0 ) $
C.$ \left( 0, \frac { 1 } { 2 } \right) $
D.$ ( 0, + \infty ) $

答案： 6.B本题考查不等式恒（能）成立问题　当$x＜1$时，$3^x＜3$，所以$g(x)=3^x - 3＜0$，无论$m$取何值，均符合题意；当$x = 1$时，$g(x)=3^x - 3 = 0$，只需$f(1)=m·(1 - 2m)(4 + m)＜0$即可，解得$m＞\frac {1}{2}$或$-4＜m＜0$；当$x＞1$时，$g(x)=3^x - 3＞0$，由题中条件可得，只需$f(x)＜0$对$x\in(1,+\infty)$恒成立即可。当$m = 0$时，$f(x)=0$，不符合题意；当$m＞0$时，$f(x)=m(x - 2m)(x + m + 3)$的图象为开口向上的抛物线，不能满足$f(x)＜0$对$x\in(1,+\infty)$恒成立，不符合题意；当$m＜0$时，$f(x)=0$的2个根为$x_1 = 2m$，$x_2 = -m - 3$，需满足$\begin{cases}x_1 = 2m\leq1\\x_2 = -m - 3\leq1\end{cases}$，所以$\begin{cases}m\leq\frac {1}{2}\\m\geq - 4\end{cases}$，结合$m＜0$，可得$-4\leq m＜0$。综上，可知实数$m$的取值范围是$(-4,0)$。故选B。
一题多解
取$m = - 1$验证符合要求，排除CD；取$m = 0$验证不符合要求，排除A，故选B。
名师点评
对于选择题，特别是求参数范围的选择题，取特殊值验证是一种快速有效的方法。

7. 已知定义在 $ ( 0, + \infty ) $ 上的函数 $ f ( x ) $ 是单调函数，且对任意 $ x \in ( 0, + \infty ) $ 恒有 $ f ( f ( x ) + \log _ { \frac { 1 } { 3 } } x ) = 4 $，则函数 $ f ( x ) $ 的零点为（A）
A.$ \frac { 1 } { 27 } $
B.$ \frac { 1 } { 9 } $
C.$ 9 $
D.$ 27 $

答案： 7.A本题考查与对数函数相关的函数的零点　因为$f(x)$为单调函数，所以$f(x)+\log_{\frac {1}{3}}x$为定值，设$f(x)+\log_{\frac {1}{3}}x = a$，$a＞0$，则$f(x)=-\log_{\frac {1}{3}}x + a$，因为$f(f(x)+\log_{\frac {1}{3}}x)=f(a)=4$，所以$-\log_{\frac {1}{3}}a + a = 4$，解得$a = 3$，所以$f(x)=-\log_{\frac {1}{3}}x + 3$，令$f(x)=0$，可得$-\log_{\frac {1}{3}}x + 3 = 0$，即$\log_{\frac {1}{3}}x = 3$，解得$x=\frac {1}{27}$，故选A。

8. 若 $ \alpha \in \left[ - \frac { \pi } { 2 }, \frac { \pi } { 2 } \right] $ 且 $ \sin \alpha = x $，则可以记 $ \alpha = \arcsin x $；若 $ \alpha \in [ 0, \pi ] $ 且 $ \cos \alpha = x $，则可以记 $ \alpha = \arccos x $.若实数 $ y \in ( 0, 1 ) $，且 $ ( \arccos y ) ^ { 2 } - ( \arcsin y ) ^ { 2 } = a $，则 $ 2 y ^ { 2 } - 1 = $（B）
A.$ \cos \frac { 2 a } { \pi } $
B.$ - \sin \frac { 2 a } { \pi } $
C.$ \cos \frac { 4 a } { \pi } $
D.$ - \sin \frac { 4 a } { \pi } $

答案： 8.B本题考查新定义问题、诱导公式、三角恒等变换
思路探寻
设$\arccos y=\theta$，$\arcsin y=\varphi$，则$\theta+\varphi=\frac {\pi}{2}\leftarrow\sin\varphi=\cos\theta=\sin(\frac {\pi}{2}-\theta)$，$(\arccos y)^2 - (\arcsin y)^2=\theta^2 - \varphi^2 = a$，$\theta - \varphi=\frac {2a}{\pi}$，$2y^2 - 1=-\sin\frac {2a}{\pi}$。
设$\arccos y=\theta$，$\arcsin y=\varphi$，则$\theta^2 - \varphi^2 = a$，$\cos\theta = y$，$\sin\varphi = y$，因为$y\in(0,1)$，所以$\theta\in(0,\frac {\pi}{2})$，$\varphi\in(0,\frac {\pi}{2})$，所以$0＜\frac {\pi}{2}-\theta＜\frac {\pi}{2}$，所以$\sin\varphi=\cos\theta = \sin(\frac {\pi}{2}-\theta)$，所以$\varphi=\frac {\pi}{2}-\theta$，即$\theta+\varphi=\frac {\pi}{2}$，所以$\theta^2 - \varphi^2 = (\theta+\varphi)·(\theta - \varphi)=\frac {\pi}{2}(\theta - \varphi)=a$，所以$\theta - \varphi = \frac {2a}{\pi}$，所以$2\varphi = (\theta+\varphi)-(\theta - \varphi)=\frac {\pi}{2}-\frac {2a}{\pi}$，则$2y^2 - 1 = 2\sin^2\varphi - 1 = -\cos2\varphi = -\cos(\frac {\pi}{2}-\frac {2a}{\pi})=-\sin\frac {2a}{\pi}$。故选B。