《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

16. （15分）已知函数$f ( x )$是定义在$[ - 3,3 ]$上的奇函数，当$x ＞ 0$时，$f ( x ) = - x ( x + 1 )$.
（1）求函数$f ( x )$的解析式；
（2）求关于$m$的不等式$f ( 1 - m ) + f ( 1 - m ^ { 2 } ) \geqslant 0$的解集.

答案：
16.[解析] 本题考查由函数性质求解析式、利用函数性质解不等式问题
(1)因为函数$f(x)$是定义在$[-3,3]$上的奇函数，所以$f(0)=0,f(x)=-f(-x)$.设$x\in[-3,0)$，则$-x\in(0,3]$，所以$f(-x)=-(-x)·(-x + 1)=-x(x - 1)$，所以$f(x)=-f(-x)=x(x - 1)$.综上所述，$f(x)=\begin{cases}x(x - 1),-3\leq x＜0,\\-x(x + 1),0\leq x\leq3.\end{cases}$
(2)作出函数$f(x)$的图象，如图所示.

由图象可知，函数$f(x)$在$[-3,3]$上既为奇函数，又为减函数.由$f(1 - m)+f(1 - m^{2})\geq0$可得$f(1 - m)\geq-f(1 - m^{2})=f(m^{2}-1)$，所以$\begin{cases}m^{2}-1\geq1 - m,\\-3\leq1 - m\leq3,\\-3\leq1 - m^{2}\leq3,\end{cases}$解得$m=-2$或$1\leq m\leq2$，因此关于$m$的不等式$f(1 - m)+f(1 - m^{2})\geq0$的解集为$\{-2\}\cup[1,2]$.

17. （15分）由于呼吸机紧缺，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入$90$万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前$n ( n \in \mathbf { N } ^ { * } )$年的材料费、维修费、人工工资等共为$\left( \frac { 5 } { 2 } n ^ { 2 } + 5 n \right)$万元，每年的销售收入为$55$万元，设使用该设备前$n$年的总盈利额为$f ( n )$万元.
（1）写出$f ( n )$关于$n$的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以$10$万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以$50$万元的价格处理.
请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小.

答案： 17.[解析] 本题考查函数在实际生活中的应用
(1)由题意得$f(n)=55n - 90-\left(\frac{5}{2}n^{2}+5n\right)=-\frac{5}{2}n^{2}+50n - 90$.由$f(n)＞0$，得$-\frac{5}{2}n^{2}+50n - 90＞0$，即$n^{2}-20n + 36＜0$，解得$2＜n＜18$.由于$n\in N^{*}$，所以该设备从第$3$年开始盈利.
(2)方案一：总盈利额$f(n)=-\frac{5}{2}(n - 10)^{2}+160$，当$n = 10$时，$f(n)_{\max}=160$.故方案一总利润为$160 + 10 = 170$（万元），此时$n = 10$.方案二：年平均盈利额$\frac{f(n)}{n}=50-\frac{5}{2}\left(n+\frac{36}{n}\right)\leq50-\frac{5}{2}×2\sqrt{n·\frac{36}{n}}=20$，当且仅当$n=\frac{36}{n}$，即$n = 6$时，等号成立.故方案二总利润为$6×20 + 50 = 170$（万元），此时$n = 6$.比较两种方案，处理设备后的总利润都是$170$万元，由于方案一需要$10$年，而方案二需要$6$年，故方案二能在更短的时间内达到相应的最值目标.