《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

9. 已知集合 $ A = \{ - 2,-1,0,1 \} $，$ B = \{ x|\frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 \} $，则（CD）
A.$ A \cap B = \{ - 2,-1,0,1 \} $
B.$ A \cup B = \{ x|-2 \lt x \leq 1 \} $
C.$ A \cap B = \{ - 1,0,1 \} $
D.$ A \cup B = \{ x|-2 \leq x \leq 1 \} $

答案： 9. CD 本题考查集合间的基本关系 $\text { B } =$$\{ x \mid \frac { x - 1 } { x + 2 } \leqslant 0 \} = \{ x \mid - 2 ＜ x \leqslant 1 \} , \text { A } = \{ - 2 , - 1 , 0 , 1 \}$,故$\text { A } \cup \text { B } = \{ x \mid - 2 \leqslant x \leqslant 1 \} , \text { A } \cap \text { B } = \{ - 1 , 0 , 1 \}$. 故选 CD.

10. 若函数 $ f(x) $ 同时满足：①对于定义域上的任意 $ x $，恒有 $ f(x) + f(-x) = 0 $；②对于定义域上的任意 $ x_{1},x_{2} $，当 $ x_{1} \neq x_{2} $ 时，恒有 $ \frac{f(x_{1}) - f(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \lt 0 $，则称函数 $ f(x) $ 为“理想函数”. 下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（AB）
A.$ f(x) = - x $
B.$ f(x) = - \sqrt[3]{x} $
C.$ f(x) = x^{3} + x $
D.$ f(x) = \frac{2}{3} - x $

答案： 10. AB 本题考查函数性质的综合 由①知$f ( x )$为定义域上的奇函数;由②知$f ( x )$在定义域内单调递减.对于 A,$f ( x ) = - x$为$\mathbf { R }$上的奇函数且在$\mathbf { R }$上单调递减,符合“理想函数”的定义,A 正确;对于 B,$f ( x ) =$$- \sqrt [ 3 ] { x } = - x ^ { \frac { 1 } { 3 } }$为$\mathbf { R }$上的奇函数且在$\mathbf { R }$上单调递减,符合“理想函数”的定义,B 正确;对于 C,$f ( x ) = x ^ { 3 } + x$为$\mathbf { R }$上的奇函数且在$\mathbf { R }$上单调递增,不符合“理想函数”的定义,C 不正确;对于 D,$f ( x ) = \frac { 2 } { 3 } - x$是$\mathbf { R }$上的非奇非偶函数,不符合“理想函数”的定义,D 不正确. 故选 AB.

11. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ a \leq x^{2} - 4x - 6 \leq b(a \in \mathbf{R},b \in \mathbf{R}) $，下列结论正确的是（CD）
A.不等式 $ a \leq x^{2} - 4x - 6 \leq b $ 的解集不可能为 $ \varnothing $
B.不等式 $ a \leq x^{2} - 4x - 6 \leq b $ 的解集可能为 $ \{ x|-8 \leq x \leq -6 $ 或 $ 8 \leq x \leq 12 \} $
C.存在实数 $ a,b $，使得不等式 $ a \leq x^{2} - 4x - 6 \leq b $ 的解集为闭区间 $ [m,n] $ 的形式
D.存在唯一一对实数对 $ (a,b) $，使得不等式 $ a \leq x^{2} - 4x - 6 \leq b $ 的解集为 $ \{ x|\frac{a}{6} \leq x \leq b \} $

答案： 11. CD 本题考查不等式组的解法 令$f ( x ) = x ^ { 2 } -$$4 x - 6 = ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 0 \geqslant - 1 0$,则当$b ＜ - 1 0$时,不等式$a \leqslant x ^ { 2 } - 4 x - 6 \leqslant b$的解集为$\varnothing$,故 A 不正确;若不等式$a \leqslant x ^ { 2 } - 4 x - 6 \leqslant b$的解集为$\{ x \mid - 8 \leqslant x \leqslant - 6$或$8 \leqslant x \leqslant 1 2 \}$,则根据一元二次方程根与系数的关系,需满足$- 8 + 1 2 = 4 , - 6 + 8 = 4$,不成立,故 B 不正确;取$a = - 1 0 , b = - 6$,得到$- 1 0 \leqslant x ^ { 2 } - 4 x - 6 \leqslant - 6$,解得$x \in [ 0 , 4 ]$,故 C 正确;$a \leqslant x ^ { 2 } - 4 x - 6$和$x ^ { 2 } - 4 x - 6 \leqslant$$b$的解都关于$x = 2$对称,且$y = x ^ { 2 } - 4 x - 6$的图象开口向上,故只能是$a \leqslant x ^ { 2 } - 4 x - 6$恒成立,即$a \leqslant - 1 0$,因为$x ^ { 2 } - 4 x - 6 \leqslant b$的解集为$\{ x \mid \frac { a } { 6 } \leqslant x \leqslant b \}$,故方程$x ^ { 2 } - 4 x - 6 - b = 0$的两根为$\frac { a } { 6 } , b$,可得$\begin{cases} \frac { a } { 6 } + b = 4 , \\ \frac { a } { 6 } · b = - b - 6 , \end{cases}$解得$\begin{cases} a = - 1 2 , \\ b = 6 \end{cases}$或$\begin{cases} a = 3 0 , \\ b = - 1 \end{cases}$(舍去),故 D正确. 故选 CD.

12. 已知集合 $ A = \{ x|x^{2} - ax + a^{2} - 7 = 0 \} $，$ B = \{ x|x^{2} - x - 6 = 0 \} $，若满足 $ A \cap B = A \cup B $，则实数 $ a = $1.

答案： 12. 1 [解析] 本题考查集合相等的判断 $\text { B } = \{ x \mid x ^ { 2 } -$$x - 6 = 0 \} = \{ - 2 , 3 \}$,因为$\text { A } \cap \text { B } = \text { A } \cup \text { B }$,所以$\text { A } = \text { B }$,故$\begin{cases} - 2 + 3 = a , \\ - 2 × 3 = a ^ { 2 } - 7 , \end{cases}$解得$a = 1$,经验证$a = 1$时$\text { A } = \text { B }$,符合题意,故$a = 1$.

13. 已知正数 $ a,b $ 满足 $ 2a + b = 1 $，则 $ \frac{1}{a} + \frac{4}{b} $ 的最小值为$6 + 4 \sqrt { 2 }$.

答案： 13. $6 + 4 \sqrt { 2 }$ [解析] 本题考查利用基本不等式求最值$\frac { 1 } { a } + \frac { 4 } { b } = ( 2 a + b ) ( \frac { 1 } { a } + \frac { 4 } { b } ) = 2 + \frac { 8 a } { b } + \frac { b } { a } + 4 \geqslant 4 +$$6 = 6 + 4 \sqrt { 2 }$,当且仅当$\frac { 8 a } { b } = \frac { b } { a }$,即$a = \frac { \sqrt { 2 } - 1 } { 2 } , b = 2 - \sqrt { 2 }$时,等号成立.故$\frac { 1 } { a } + \frac { 4 } { b }$的最小值为$6 + 4 \sqrt { 2 }$.

14. 若使集合 $ A = \{ x|(kx - k^{2} - 2k - 2)(2x - 5) \gt 0,x \in \mathbf{Z} \} $ 中的元素个数最少，则实数 $ k $ 的取值范围是$[ - 2 , - 1 ]$.

答案： 14. $[ - 2 , - 1 ]$ [解析] 本题考查分类讨论求解参数范围 当$k = 0$时,$\text { A } = \{ x \mid - 2 ( 2 x - 5 ) ＞ 0 , x \in \mathbf { Z } \} =$$\{ x \mid x ＜ \frac { 5 } { 2 } , x \in \mathbf { Z } \}$,元素有无穷多个;当$k ＞ 0$时,$( k x - k ^ { 2 } - 2 k - 2 ) ( 2 x - 5 ) = k [ x - ( k + 2 + \frac { 2 } { k } ) ] ·$$( 2 x - 5 ) ＞ 0 , k + 2 + \frac { 2 } { k } \geqslant 2 \sqrt { k · \frac { 2 } { k } } + 2 = 2 \sqrt { 2 } + 2 ＞$$\frac { 5 } { 2 }$,当且仅当$k = \sqrt { 2 }$时,等号成立,故$x \in ( - \infty , \frac { 5 } { 2 } ) \cup$$( k + 2 + \frac { 2 } { k } , + \infty ) , x \in \mathbf { Z }$中元素有无穷多个;当$k ＜ 0$时,$( k x - k ^ { 2 } - 2 k - 2 ) ( 2 x - 5 ) = k [ x - ( k + 2 + \frac { 2 } { k } ) ] ·$$( 2 x - 5 ) ＞ 0 , k + 2 + \frac { 2 } { k } = - ( - k + \frac { 2 } { - k } ) + 2 \leqslant$$- 2 \sqrt { - k · \frac { 2 } { - k } } + 2 = - 2 \sqrt { 2 } + 2 ＜ 0 ＜ \frac { 5 } { 2 }$,当且仅当$k = - \sqrt { 2 }$时,等号成立,故$x \in ( k + 2 + \frac { 2 } { k } , \frac { 5 } { 2 } )$,要让$\text { A }$中元素最少,需要满足$- 1 \leqslant k + 2 + \frac { 2 } { k } ＜ 0$,解得$- 2 \leqslant$$k \leqslant - 1$. 故$k$的取值范围为$[ - 2 , - 1 ]$.

15. (13 分)已知函数 $ f(x) = x^{2} - 3x + a $.
(1) 若 $ f(x) \gt 0 $ 在 $ x \in \mathbf{R} $ 上恒成立，求实数 $ a $ 的取值范围；
(2) 若 $ f(x) \lt 0 $ 在 $ x \in (-1,2) $ 上恒成立，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 15. [解析] 本题考查二次函数的性质
(1)由题意得$x ^ { 2 } - 3 x + a ＞ 0$在$x \in \mathbf { R }$上恒成立,所以$\Delta = 3 ^ { 2 } - 4 a ＜ 0$,解得$a ＞ \frac { 9 } { 4 }$.故实数$a$的取值范围为$( \frac { 9 } { 4 } , + \infty )$.
(2)函数$f ( x )$的图象开口向上,对称轴为直线$x = \frac { 3 } { 2 }$,若要使$f ( x ) ＜ 0$在$x \in ( - 1 , 2 )$上恒成立,则$\begin{cases} f ( - 1 ) = 1 + 3 + a \leqslant 0 , \\ f ( 2 ) = 4 - 6 + a \leqslant 0 , \end{cases}$解得$a \leqslant - 4$.故实数$a$的取值范围为$( - \infty , - 4 ]$.