《2025年期中期末名校名区真题精编高一数学上册人教版》

18. (17 分) “智能”是杭州第 19 届亚运会的办赛理念之一. 在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶 AR 智能巴士. 某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔 $ t $（单位：分）满足 $ 5 \leqslant t \leqslant 20 $，$ t \in \mathbf { N } $，经测算，该路无人驾驶公交车的载客量 $ p ( t ) $ 与发车时间间隔 $ t $ 满足：$ p ( t ) = \left\{ \begin{array} { l } { 60 - ( t - 10 ) ^ { 2 }, 5 \leqslant t ＜ 10, } \\ { 60, 10 \leqslant t \leqslant 20, } \end{array} \right. $ 其中 $ t \in \mathbf { N } $.
(1) 求 $ p ( 5 ) $，并说明 $ p ( 5 ) $ 的实际意义；
(2) 若该路公交车每分钟的净收益 $ y = \frac { 6 p ( t ) + 24 } { t } - 10 $（单位：元），问：当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益.

答案： 18.[解析] 本题考查利用基本不等式解决实际问题
(1)因为$p(t)=\begin{cases}60 - (t - 10)^2, 5\leq t＜10 \\60, 10\leq t\leq20\end{cases}$,所以p
(5)=60 - (5 - 10)² = 35,p
(5)的实际意义为:发车时间间隔为5分钟时,该路无人驾驶公交车的载客量为35.
(2)因为$y=\frac{6p(t) + 24}{t} - 10$,所以当5≤ t＜10时,$y=\frac{360 - 6(t - 10)^2 + 24}{t} - 10 =110 - (6t + \frac{216}{t})\leq110 - 2\sqrt{6t·\frac{216}{t}} = 38$,当且仅当6t = $\frac{216}{t}$,即t = 6时,等号成立,所以当t = 6时,y取得最大值38;当10≤ t≤20时,$y=\frac{6×60 + 24}{t} - 10=\frac{384}{t} - 10$,该函数在区间[10, 20]上单调递减,所以当t = 10时,y取得最大值28.4.因为38 ＞ 28.4,所以当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.
归纳总结
利用基本不等式解决实际问题的步骤
解决实际问题时,应先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数、不等式性质等)解决问题.利用基本不等式解决此类问题的一般步骤如下:
(1)理解题意,设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量.
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题.
(3)通过使用基本不等式在定义域内求出函数的最大值或最小值.
(4)正确写出答案.

19. (17 分) 已知函数 $ f ( x ) = \left| \frac { t x ^ { 2 } - 5 x + 4 t } { x } \right| $，其中常数 $ t ＞ 0 $.
(1) 若函数 $ f ( x ) $ 在区间 $ ( 0, 2 ) $，$ ( 2, + \infty ) $ 上都单调，求实数 $ t $ 的取值范围.
(2) 当 $ t = 1 $ 时，是否存在实数 $ a $ 和 $ b $，使得函数 $ f ( x ) $ 在区间 $ [ a, b ] $ 上单调，且此时 $ f ( x ) $ 的取值范围是 $ [ m a, m b ] $. 若存在，求出实数 $ m $ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案：
19.[解析] 本题考查由函数的单调性求解参数、函数与方程的综合运用
思路探寻
(1)f(x)=|t(x + $\frac{4}{x}$) - 5|$\begin{cases}设h(x)=t(x + \frac{4}{x}) \\y = \frac{tx² - 5x + 4t}{x}在(0, +\infty)上的最小值不小于0 \\结合对勾函数性质与绝对值意义\end{cases}$⇒ 4t - 5≥0 ⇒ t≥$\frac{5}{4}$.
(2)作出函数f(x)的草图 $\begin{cases}写出函数f(x)的单调区间 \\求并集即可 \end{cases}$⇐ 分类讨论⇐
(1)f(x)=|t(x + $\frac{4}{x}$) - 5|,设h(x)=t(x + $\frac{4}{x}$),因为t ＞ 0,所以函数h(x)在区间(0, 2),(2, +∞)上都单调且此时h(x)≥4t,要使函数f(x)在区间(0, 2),(2, +∞)上都单调,则只需4t - 5≥0,解得t≥$\frac{5}{4}$.故实数t的取值范围为[$\frac{5}{4}$, +∞).
(2)由题意可知m ＞ 0,当t = 1时,f(x)=|x + $\frac{4}{x}$ - 5|,画出f(x)的大致图象,如图所示，由图可知,f(x)在(0, 1],[1, 2],[2, 4],[4, +∞)上均单调.

①当[a, b]⊆(0, 1]时,f(x)在[a, b]上单调递减,则$\begin{cases}f(a)=mb \\f(b)=ma\end{cases}$,两式相除并整理得(a - b)(a + b - 5)=0,因为a,b∈(0, 1]且a≠ b,所以上式不成立,即a,b无解,m无取值.
②当[a, b]⊆[1, 2]时,f(x)在[a, b]上单调递增,则$\begin{cases}f(a)=ma \\f(b)=mb\end{cases}$,则可得m = -$\frac{4}{x²} + \frac{5}{x} - 1$在x∈[1, 2]时有两个不等实根,令$\frac{1}{x}=z$,则z∈[$\frac{1}{2}$, 1],则y = -$\frac{4}{x²} + \frac{5}{x} - 1$可转化为φ(z)= -4(z - $\frac{5}{8}$)² + $\frac{9}{16}$,由φ
(1)=0,φ($\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{2}$及二次函数性质可得$\frac{1}{2}$≤ m＜$\frac{9}{16}$.
③当[a, b]⊆[2, 4]时,f(x)在[a, b]上单调递减,则$\begin{cases}f(a)=mb \\f(b)=ma\end{cases}$,两式相除并整理得(a - b)(a + b - 5)=0,因为a≠ b,所以a + b = 5,所以b = 5 - a ＞ a,a = 5 - b ＜ b,所以2≤ a＜$\frac{5}{2}$,$\frac{5}{2}$＜b≤4.由 -a - $\frac{4}{a}$ + 5 = mb得$m = -\frac{a}{5 - a} - \frac{4}{a(5 - a)} = 1 + \frac{4}{(a - \frac{5}{2})² - \frac{25}{4}}$,易知m关于a的函数是单调的,所以m∈[$\frac{1}{3}$, $\frac{9}{25}$).由 -b - $\frac{4}{b}$ + 5 = ma得$m = \frac{5 - b - \frac{4}{b}}{a} = 1 + \frac{4}{b(b - 5)} = 1 + \frac{4}{(b - \frac{5}{2})² - \frac{25}{4}}$,易知m关于b的函数是单调的,所以m∈[0, $\frac{9}{25}$),所以由$m = \frac{5 - x - \frac{4}{x}}{5 - x}$有两个不同的解可得m∈[$\frac{1}{3}$, $\frac{9}{25}$).
④当[a, b]⊆(4, +∞)时,f(x)在[a, b]上单调递增,则$\begin{cases}f(a)=ma \\f(b)=mb\end{cases}$,则$\frac{a - b}{b - a + \frac{4}{a} - \frac{4}{b}} = 0$,因为4 ＜ a ＜ b,所以a - b ＜ 0,5ab ＞ 10b ＞ 4a + 4b,即4a + 4b - 5ab ＜ 0,因此(a - b)(4a + 4b - 5ab) = 0不成立,所以m无取值.
综上,实数m的取值范围为[$\frac{1}{3}$, $\frac{9}{25}$)∪[$\frac{1}{2}$, $\frac{9}{16}$).
方法技巧
本题主要考查函数的单调性,由于函数解析式含有绝对值符号,因此作出函数图象有助于问题的求解,通过图象确定单调性,确定m ＞ 0,从而根据四个单调区间分类讨论即可.